Интегральное уравнение с ядром Теплица-Ганкеля и неоднородностью в линейной части

Аннотация

В конусе Q_0 = {u(x): u \in C[0, \infty), u(0) = 0 и u(x) > 0 при x > 0} рассматривается интегральное уравнение u^\alpha(x) = \int_0^x [p(x − t) + q(x + t)]u(t)dt + f(x) с ядром Теплица-Ганкеля p(x − t) + q(x + t) и неоднородностью f(x) в линейной части. Уравнения такого вида с разностными, суммарными и суммарно-разностными ядрами возникают при решении многих задач гидроаэродинамики, теории упругости, популяционной генетики, в теории лучистого равновесия и переноса тепла излучением и др. При этом с теоретической и прикладной точек зрения особый интерес представляют неотрицательные непрерывные решения из конуса Q_0. В случае \alpha > 1 найдены условия на ядро и неоднородность, при которых указанное интегральное уравнение имеет единственное решение во всем классе Q_0. Без дополнительных ограничений на заданные функции доказано, что это решение можно найти методом последовательных приближений пикаровского типа в некотором полном весовом метрическом пространстве. Для последовательных приближений установлена оценка скорости их сходимости к точному решению в терминах весовой метрики. При этом важную роль играют полученные в работе двусторонние априорные оценки решения. Приведены примеры, иллюстрирующие полученные результаты. При 0 < \alpha < 1 показано, что данное уравнение не имеет, как и в линейном случае (при \alpha = 1), решений в конусе Q_0.

Ключевые слова:

уравнение Вольтерра, ядро Теплица-Ганкеля, неоднородность, степенная нелинейность, априорные оценки