Обзор исследований по качественной теории дифференциальных уравнений в Санкт-Петербургском университете. III. Системы c гистерезисными нелинейностями. Проблема Айзермана для систем с дискретным временем

Аннотация

Данная статья является третьей в цикле работ, посвященных обзору результатов научных исследований сотрудников кафедры дифференциальных уравнений Санкт-Петербургского университета за последние 30 лет. Статья посвящена результатам изучения систем с гистерезисными и секторными нелинейностями, как с непрерывным, так и с дискретным временем. В первой части работы представлены результаты, полученные для систем автоматического управления второго порядка с непрерывным временем. Изучается вопрос глобальной устойчивости и вопрос существования предельных циклов в системе с одной гистерезисной нелинейностью. Во второй части рассматривается система с дискретным временем, которая состоит из линейного скалярного уравнения и одномерного стоп-оператора. Также эту систему можно записать в виде двумерного кусочно-линейного отображения. Представлен анализ глобальной динамики и бифуркаций в системе в зависимости от двух параметров. Изучены одномерные отображения, возникающие при рассмотрении отображения Пуанкаре. В частности, полностью разобрана динамика так называемого skew tent map. В третьей части работы рассматриваются дискретные системы второго порядка с нелинейностями, подчиненными обобщенным условиям Рауса-Гурвица (проблема Айзермана). Показано, что может быть построена 2-периодическая нелинейность указанного типа таким образом, что в системе возникают 4-периодические циклы. Кроме того, может быть построена 3-периодическая нелинейность так, что в системе появляются 3- или 6-периодические решения.

Ключевые слова:

нелинейность гистерезисного типа, абсолютная устойчивость, предельный цикл, проблема Айзермана, бифуркации, динамические системы, обобщенные условия Рауса-Гурвица, аттрактор