Stability of periodic points of diffeomorphisms of multidimensional space

Abstract

Изучается диффеоморфизм многомерного пространства в себя с гиперболической неподвижной точкой в начале координат и нетрансверсальной гомоклинической к ней точкой. Из работ Ш. Ньюхауса, Б. Ф. Иванова, Л. П. Шильникова и других авторов следует, что при определенном способе касания устойчивого многообразия с неустойчивым окрестность нетрансверсальной гомоклинической точки может содержать бесконечное множество устойчивых периодических точек, но хотя бы один из характеристических показателей этих точек стремится к нулю с ростом периода. В предлагаемой работе изучаются диффеоморфизмы, у которых способ касания устойчивого многообразия с неустойчивым отличается от случая, рассмотренного в работах вышеперечисленных авторов. Данная работа является продолжением предыдущих работ автора о диффеоморфизмах, матрица Якоби которых в начале координат имела только действительные собственные числа. Были получены условия, при которых окрестность нетрансверсальной гомоклинической точки такого диффеоморфизма содержит бесконечное множество устойчивых периодических точек с отделенными от нуля характеристическими показателями. В данной работе предполагается, что матрица Якоби исходного диффеоморфизма в начале координат имеет не только действительные собственные числа, но и неединственную пару комплексно сопряженных собственных чисел. При этом предположении получены условия существования в окрестности нетрансверсальной гомоклинической точки бесконечного множества устойчивых периодических точек с отделенными от нуля характеристическими показателями.