Метрические инварианты поверхностей второго порядка

  • Дмитрий Юрьевич Волков Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения, Российская Федерация, 190000, Санкт-Петербург, ул. Большая Морская, 67
  • Ксения Валерьевна Галунова Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого, Российская Федерация, 195251, Санкт-Петербург, ул. Политехническая, 29

Аннотация

Статья посвящена классической задаче аналитической геометрии в n-мерном евклидовом пространстве, а именно нахождению канонического уравнения квадрики по исходному уравнению. Каноническое уравнение определяется по инвариантам уравнения поверхности второго порядка, т. е. по величинам, которые не меняются при аффинной замене координат пространства. С. Л. Певзнер нашел удобную систему инвариантов: q — ранг расширенной матрицы системы для определения центра симметрии поверхности; корни характеристического многочлена матрицы квадратичных слагаемыхура внения поверхности, т. е. собственные числа этой матрицы; K_q — коэффициент при переменной λ в степени n − q в многочлене, равный определителю матрицы порядка n + 1, полученной по определенному правилу из исходного уравнения поверхности. Собственные числа матрицы квадратичных слагаемых и коэффициент K_q позволяют выписать каноническое уравнение поверхности. В статье предложено новое простое доказательство результата С. Л. Певзнера. В доказательстве используются только элементарные свойства определителей. Этот алгоритм нахождения канонического уравнения поверхности может найти применение в компьютерной графике.
Ключевые слова:

инварианты, гиперповерхности второго порядка

Скачивания

Данные скачивания пока недоступны.
 

Литература

Литература

1. Розенфельд Б.А. Многомерные пространства. Москва, Наука (1966).

2. Винберг Э.Б., Попов В.Л. Теория инвариантов. В: Алгебраическая геометрия — 4. Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления. Т. 55, 137–309. Москва (1989).

3. Гуревич Г.Б. Основы теории алгебраических инвариантов. Москва, Гостехиздат (1948).

4. Olver P. J. Classical invariant theory. In Ser.: London Mathematical Society Student Texts, vol. 44. Cambridge, Cambridge University Press (1999).

5. Casas-Alvero E. Analytic projective geometry. In Ser.: EMS Textbooks in Mathematics. Z¨urich, European Mathematical Society (2014).

6. Schreier O., Sperner E. Projective geometry of n-dimensions. Introduction to modern algebra and matrix theory. Vol. 2. New York, Chelsea Publ. (1961).

7. Делоне Б.Н., Райков Д.А. Аналитическая геометрия. Т. 2. Москва, Гостехиздат (1948).

8. Моденов П.С. Аналитическая геометрия. Москва, Изд-во Московского университета (1969).

9. Шилов Г. Е. Введение в теорию линейных пространств. Москва, Гостехиздат (1956).

10. Певзнер C.Л. Инварианты и канонические уравнения гиперповерхности второго порядка в n-мерном пространстве. Publications De L’Institut Mathematique. Nouvelle Serie 55 (69), 75–88 (1994).

11. Farin G. E., Farin G. Curves and surfaces for CAGD: A practical guide. Morgan Kaufmann Publ. (2002).

References

1. Rosenfeld B.A. Multidimensional spaces. Moscow, Nauka Publ. (1966).

2. Vinberg E. B., Popov V. L. Invariant theory. In: Algebraic geometry — 4. Itogi Nauki i Tekhniki. Sovrem. Probl. Mat. Fund. naprav. Vol. 55, 137–314. Moscow (1989). (In Russian)

3. Gurevich G.B. Osnovy teorii algebraicheskih invariantov. Moscow, Gostekhizdat Publ. (1948). (In Russian) [Eng. transl.: Gurevich G.B. Foundations of the theory of algebraic invariants. Groningen, P. Noordhoff (1964)].

4. Olver P. J. Classical invariant theory. In Ser.: London Mathematical Society Student Texts, vol. 44. Cambridge, Cambridge University Press (1999).

5. Casas-Alvero E. Analytic projective geometry. In Ser.: EMS Textbooks in Mathematics. Z¨urich, European Mathematical Society (2014).

6. Schreier O., Sperner E. Projective geometry of n-dimensions. Introduction to modern algebra and matrix theory. Vol. 2. New York, Chelsea Publ. (1961).

7. Delone B.N., Raikov D.A. Analytical geometry. Vol. 2. Moscow, Gostehizdat Publ. (1948). (In Russian)

8. Modenov P. S. Analytical geometry. Moscow, Moscow University Press (1969). (In Russian)

9. Shilov G.E. Vvedenie v teoriju linejnyh prostranstv. Moscow, Gostehizdat Publ. (1956). (In Russian) [Eng. transl.: Shilov G.E. An Introduction to the Theory of Linear Spaces. In Ser.: Dover Books on Mathematics. Dover Publ. (1971)].

10. Pevzner S. L. Invariants and canonical equations of a second-order hypersurface in an n-dimensional Euclidean space. Publications De L’Institut Mathematique. Nouvelle Serie 55 (69), 75–88 (1994). (In Russian)

11. Farin G. E., Farin G. Curves and surfaces for CAGD: A practical guide. Morgan Kaufmann Publ. (2002).

Опубликован
2022-07-06
Как цитировать
Волков, Д. Ю., & Галунова, К. В. (2022). Метрические инварианты поверхностей второго порядка. Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия, 9(2), 219-228. https://doi.org/10.21638/spbu01.2022.204
Раздел
Математика