Распределение времени до начала финальной остановки диффузионного полумарковского процесса на интервале с недостижимыми границами

Аннотация

Рассматривается одномерный процесс с непрерывными траекториями, заданный на неотрицательной полуоси, обладающий однородным марковским свойством относительно момента первого выхода из любого открытого интервала (полумарковский процесс). За исключением слова «непрерывные» это определение совпадает с определением полумарковского процесса с кусочно-постоянными траекториями. Непрерывные полумарковские процессы служат математической моделью многих физических, биологических и социальных явлений. Диффузионность процесса состоит в том, что вероятность первого выхода на любую из двух границ симметричной окрестности начальной точки процесса стремится к 1/2 при стремлении диаметра этой окрестности к нулю. Исследуется распределение момента начала финального интервала постоянства выборочной траектории процесса. Так называется бесконечный интервал постоянства, определение которого опирается на вид полумарковских переходных производящих функций процесса. Получено представление производящей функции этого распределения в интегральном виде. Подынтегральное выражение этого представления объясняет смысл квадратичного члена разложения полумарковской производящей функции процесса по степеням диаметра симметричной окрестности начальной точки процесса при стремлении этого диаметра к нулю. А именно, траектории процесса не имеют финального интервала постоянства тогда и только тогда, когда коэффициент этого квадратичного члена равен нулю.

Ключевые слова:

непрерывный полумарковский процесс, полумарковская цепь, финальный интервал постоянства, дифференциальное уравнение, преобразования Лапласа, недостижимая граница, интегральное представление