О равномерной состоятельности непараметрических критериев типа Неймана

Авторы

  • Михаил Сергеевич Ермаков Санкт-Петербургский государственный университет, Российская Федерация, 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7-9
  • Дейвид Юрьевич Капаца Институт проблем машиноведения РАН, Российская Федерация, 199178, Санкт-Петербург, Большой пр. В. О., 61

DOI:

https://doi.org/10.21638/spbu01.2023.203

Аннотация

В работе рассматривается задача проверки гипотезы согласия на основе тестовой статистики, являющейся линейной комбинацией квадратов оценок коэффициентов Фурье разложения в ряд Фурье плотности распределения. Такими статистиками, например, являются тестовые статистики критерия Неймана и тестовая статистика, являющаяся L2-нормой ядерной оценки плотности. Мы доказываем теорему об асимптотической нормальности тестовой статистики при справедливости как гипотезы, так и альтернатив. На этой основе мы находим условия равномерной состоятельности непараметрических множеств альтернатив, заданных как в терминах функций распределения, так и плотности распределения. Результаты о равномерной состоятельности непараметрических множеств альтернатив, заданных в терминах функций распределения, можно рассматривать как утверждение, показывающее, в какой мере метод расстояний, основанный на данной тестовой статистике, осуществляет различимость гипотезы и альтернатив. В данном случае полученные условия равномерной состоятельности близки к необходимым. Для последовательности плотностей распределения, сближающихся с гипотезой в L2-метрике и рассматриваемых как альтернативы, мы находим необходимые и достаточные условия ее состоятельности. Этот результат получен в терминах понятия наибольших множеств, описание которых для данных тестовых статистик приведено в настоящей публикации.

Ключевые слова:

непараметрическая проверка гипотез, критерии согласия, тест Неймана, состоятельность, непараметрическое множество альтернатив, проверка гипотез о плотности распределения

Скачивания

Данные скачивания пока недоступны.
 

Библиографические ссылки

Литература

1. Lehmann E. L., Romano J. P., Casella G. Testing statistical hypotheses. Vol. 3. Springer (2005).

2. Ingster Y. I., Suslina I. A. Nonparametric goodness-of-fit testing under Gaussian models. Vol. 169. Springer Science and Business Media (2003).

3. Gin´e E., Nickl R. Mathematical foundations of infinite-dimensional statistical models. Cambridge University Press (2021).

4. Kendall M. G., Stuart A. The Advanced Theory of Statistics, Vol. 2. Inference and Relationship. The Annals of Mathematical Statistics 35 (3), 1371-1380 (1964).

5. Shorack G. R., Wellner J. A. Empirical processes with applications to statistics. New York, Wiley-Interscience (1986).

6. Durbin J. Distribution theory for tests based on the sample distribution function. Philadelphia, Society for Industrial and Applied Mathematics (1973).

7. Ermakov M. Minimax nonparametric testing of hypotheses on the distribution density. Theory of Probability and Its Applications 39 (3), 396-416 (1995).

8. Ermakov M. On uniform consistency of nonparametric tests I. Journal of Mathematical Sciences 258 (6), 802-837 (2021).

9. Bera A. K., Ghosh A. Neyman’s smooth test and its applications in Econometrics. Statistics Textbooks and Monographs 165, 177-230 (2002).

10. Neyman J. Smooth test for goodness of fit. Scandinavian Actuarial Journal 1937 (3/4), 149-199 (1937).

11. Ermakov M. Minimax detection of a signal in the heteroscedastic Gaussian white noise. Journal of Mathematical Sciences 137 (1), 4516-4524 (2006).

12. Rivoirard V. Maxisets for linear procedures. Statistics and probability letters 67 (3), 267-275 (2004).

13. Tsybakov A. B. Introduction to nonparametric estimation. Vol. 3. Springer (2009).

14. Ermakov M. On asymptotically minimax nonparametric detection of signal in Gaussian white noise. Journal of Mathematical Sciences 251 (1), 78-87 (2020).

15. Hall P. Central limit theorem for integrated square error of multivariate nonparametric density estimators. Journal of multivariate analysis 14 (1), 1-16 (1984).

References

1. Lehmann E. L., Romano J. P., Casella G. Testing statistical hypotheses. Vol. 3. Springer (2005).

2. Ingster Y. I., Suslina I. A. Nonparametric goodness-of-fit testing under Gaussian models. Vol. 169. Springer Science and Business Media (2003).

3. Gin´e E., Nickl R. Mathematical foundations of infinite-dimensional statistical models. Cambridge University Press (2021).

4. Kendall M. G., Stuart A. The Advanced Theory of Statistics, Vol. 2. Inference and Relationship. The Annals of Mathematical Statistics 35 (3), 1371-1380 (1964).

5. Shorack G. R., Wellner J. A. Empirical processes with applications to statistics. New York, Wiley-Interscience (1986).

6. Durbin J. Distribution theory for tests based on the sample distribution function. Philadelphia, Society for Industrial and Applied Mathematics (1973).

7. Ermakov M. Minimax nonparametric testing of hypotheses on the distribution density. Theory of Probability and Its Applications 39 (3), 396-416 (1995).

8. Ermakov M. On uniform consistency of nonparametric tests I. Journal of Mathematical Sciences 258 (6), 802-837 (2021).

9. Bera A. K., Ghosh A. Neyman’s smooth test and its applications in Econometrics. Statistics Textbooks and Monographs 165, 177-230 (2002).

10. Neyman J. Smooth test for goodness of fit. Scandinavian Actuarial Journal 1937 (3/4), 149-199 (1937).

11. Ermakov M. Minimax detection of a signal in the heteroscedastic Gaussian white noise. Journal of Mathematical Sciences 137 (1), 4516-4524 (2006).

12. Rivoirard V. Maxisets for linear procedures. Statistics and probability letters 67 (3), 267-275 (2004).

13. Tsybakov A. B. Introduction to nonparametric estimation. Vol. 3. Springer (2009).

14. Ermakov M. On asymptotically minimax nonparametric detection of signal in Gaussian white noise. Journal of Mathematical Sciences 251 (1), 78-87 (2020).

15. Hall P. Central limit theorem for integrated square error of multivariate nonparametric density estimators. Journal of multivariate analysis 14 (1), 1-16 (1984).

Загрузки

Опубликован

10.05.2023

Как цитировать

Ермаков, М. С., & Капаца, Д. Ю. (2023). О равномерной состоятельности непараметрических критериев типа Неймана. Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия, 10(2), 212–225. https://doi.org/10.21638/spbu01.2023.203

Выпуск

Том 10 № 2 (2023)

Раздел

Математика

Лицензия

Статьи журнала «Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия» находятся в открытом доступе и распространяются в соответствии с условиями Лицензионного Договора с Санкт-Петербургским государственным университетом, который бесплатно предоставляет авторам неограниченное распространение и самостоятельное архивирование.