Формулы для функции Грина и марковское свойство поля переходов для однородных цепей Маркова

Аннотация

В работе изучается возможность обобщения формул для функции Грина, применяемой для описания конечномерных распределений времени пребывания. Ранее известные результаты, когда для случайного блуждания по дереву функция Грина выражается через решения соответствующего однородного уравнения, естественно попытаться перенести на случай более сложных графов. Оказывается, что такие обобщения получаются далеко не всегда. Так, например, для блуждания по графу, представляющему из себя бесконечную «лестницу», возможностьподобныхобобщенийзависитотпереходных плотностей.Длянекоторыхграфовпривести аналогичные дереву формулы и вовсе невозможно, поскольку однородные решения не «склеииваются». В работе также рассматривается поле переходов ϕ(v,w) для марковской цепи с непрерывным временем, заданное на ребрах графа переходов и понимаемое как время, проводимое процессом в состоянии w после прохождения ребра vw. Оказывается, что хотя формул для конечномерных распределений поля ϕ получить и неудается, марковость в некоторых случаях проверить можно. Доказывается, что даже для случайного блуждания по целым числам марковским поле ϕ не будет.

Ключевые слова:

марковское свойство, поле переходов, функция Грина