О пространстве операторов Шварца в симметричном пространстве Фока и дуальном к нему

Аннотация

Давней проблемой, возникающей при построении математического аппарата квантовой механики, является необходимость работы с неограниченными операторами. Поскольку пространство ядерныхоп ераторов является предсопряженным для алгебры всехограниченны х операторов, можно считать состояниями квантовой системы ядерные операторы, а наблюдаемыми считать ограниченные операторы. В этом случае взятие следа для произведения ядерного оператора (квантового состояния) и ограниченного оператора (квантовой наблюдаемой) дает среднее значение наблюдаемой в фиксированном состоянии квантовой системы. Существование такого среднего для неограниченныхопер аторов не гарантировано. Если мы хотим определить пространство наблюдаемых, включающее такие естественно возникающие неограниченные операторы, как координата и импульс, для которыхвсег да определены средние значения, следует рассматривать пространство состояний меньшее, чем все ядерные операторы. Недавно такой подход был математически точно реализован в гильбертовом пространстве H = L^2(R^N). В качестве пространства состояний было выбрано так называемое пространство операторов Шварца, снабженное системой полунорм и являющееся пространством Фреше. Операторы Шварца представляют из себя интегральные операторы, чьи ядра являются функциями, принадлежащими обычному пространству Шварца. Дуальное пространство к пространству операторов Шварца нужно считать пространством квантовыхн аблюдаемых, и оно действительно включает такие стандартные наблюдаемые, как полиномы от произведений операторов координаты и импульса. В предлагаемой работе мы переносим данный подход на симметричное пространство Фока H = F(H) над бесконечномерным сепарабельным гильбертовым пространством H. Мы вводим пространство операторов Шварца в F(H) и определяем, какие из стандартныхоператоров квантового белого шума принадлежат пространству, дуальному к пространству операторов Шварца.

Ключевые слова:

пространство операторов Шварца, симметричное пространство Фока, квантовый белый шум