О пространстве операторов Шварца в симметричном пространстве Фока и дуальном к нему

Авторы

  • Григорий Геннадьевич Амосов Математический институт им. В.А. Стеклова РАН, Российская Федерация, 119991, Москва, ул. Губкина, 8; Санкт-Петербургский государственный университет, Российская Федерация, 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7–9; Московский физико-технический институт, Российская Федерация, 141701, Московская обл., Долгопрудный, Институтский пер., 9; Институт математики с вычислительным центром УФИЦ РАН, Российская Федерация, 450008, Уфа, ул. Чернышевского, 112
  • Егор Леонидович Байтенов Математический институт им. В.А. Стеклова РАН, Российская Федерация, 119991, Москва, ул. Губкина, 8; Московский физико-технический институт, Российская Федерация, 141701, Московская обл., Долгопрудный, Институтский пер., 9; Ярославский государственный университет им. П. Г.Демидова, Российская Федерация, 150003, Ярославль, ул. Советская, 14

DOI:

https://doi.org/10.21638/spbu01.2022.201

Аннотация

Давней проблемой, возникающей при построении математического аппарата квантовой механики, является необходимость работы с неограниченными операторами. Поскольку пространство ядерныхоп ераторов является предсопряженным для алгебры всехограниченны х операторов, можно считать состояниями квантовой системы ядерные операторы, а наблюдаемыми считать ограниченные операторы. В этом случае взятие следа для произведения ядерного оператора (квантового состояния) и ограниченного оператора (квантовой наблюдаемой) дает среднее значение наблюдаемой в фиксированном состоянии квантовой системы. Существование такого среднего для неограниченныхопер аторов не гарантировано. Если мы хотим определить пространство наблюдаемых, включающее такие естественно возникающие неограниченные операторы, как координата и импульс, для которыхвсег да определены средние значения, следует рассматривать пространство состояний меньшее, чем все ядерные операторы. Недавно такой подход был математически точно реализован в гильбертовом пространстве H = L^2(R^N). В качестве пространства состояний было выбрано так называемое пространство операторов Шварца, снабженное системой полунорм и являющееся пространством Фреше. Операторы Шварца представляют из себя интегральные операторы, чьи ядра являются функциями, принадлежащими обычному пространству Шварца. Дуальное пространство к пространству операторов Шварца нужно считать пространством квантовыхн аблюдаемых, и оно действительно включает такие стандартные наблюдаемые, как полиномы от произведений операторов координаты и импульса. В предлагаемой работе мы переносим данный подход на симметричное пространство Фока H = F(H) над бесконечномерным сепарабельным гильбертовым пространством H. Мы вводим пространство операторов Шварца в F(H) и определяем, какие из стандартныхоператоров квантового белого шума принадлежат пространству, дуальному к пространству операторов Шварца.

Ключевые слова:

пространство операторов Шварца, симметричное пространство Фока, квантовый белый шум

Скачивания

Данные скачивания пока недоступны.
 

Библиографические ссылки

Литература

1. Araki H. On the diagonalization of a bilinear Hamiltonian by a Bogoliubov transformation. Publ. RIMS Kyoto Univ. Ser. A 4, 387–412 (1968).

2. Araki H. On representations of the canonical commutation relations. Commun. Math. Phys. 20, 925 (1971).

3. Blackadar B. Operator algebras. Theory of C-algebras and von Neumann algebras. In Ser.: Encyclopaedia of Mathematical Sciences, vol. 122. Springer (2006).

4. Keyl M., Kiukas J., Werner R. F. Schwartz operators. Rev. Math. Phys. 28 (3), 1630001 (2016).

5. Amosov G. G. On Various Functional Representations of the Space of Schwarz Operators. J. Math. Sci. 252 (1), 1–7 (2021). https://doi.org/10.1007/s10958-020-05136-x

6. Parthasarathy K.R. An introduction to quantum stochastic calculus. Springer (1992).

References

1. Araki H. On the diagonalization of a bilinear Hamiltonian by a Bogoliubov transformation. Publ. RIMS Kyoto Univ. Ser. A 4, 387–412 (1968).

2. Araki H. On representations of the canonical commutation relations. Commun. Math. Phys. 20, 925 (1971).

3. Blackadar B. Operator algebras. Theory of C-algebras and von Neumann algebras. In Ser.: Encyclopaedia of Mathematical Sciences, vol. 122. Springer (2006).

4. Keyl M., Kiukas J., Werner R. F. Schwartz operators. Rev. Math. Phys. 28 (3), 1630001 (2016).

5. Amosov G. G. On Various Functional Representations of the Space of Schwarz Operators. J. Math. Sci. 252 (1), 1–7 (2021). https://doi.org/10.1007/s10958-020-05136-x

6. Parthasarathy K.R. An introduction to quantum stochastic calculus. Springer (1992).

Загрузки

Опубликован

06.07.2022

Как цитировать

Амосов, Г. Г., & Байтенов, Е. Л. (2022). О пространстве операторов Шварца в симметричном пространстве Фока и дуальном к нему. Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия, 9(2), 193–200. https://doi.org/10.21638/spbu01.2022.201

Выпуск

Раздел

Математика