Об одном разложении аддитивных случайных полей

Авторы

  • Маргарита Зани Институт Дени Пуассона, Университет Орлеана
  • Алексей Андреевич Хартов Санкт-Петербургский государственный университет https://orcid.org/0000-0003-4134-083X

DOI:

https://doi.org/10.21638/11701/spbu01.2020.104

Аннотация

Рассматривается аддитивное случайное поле на [0, 1]d , представляющее собой сумму d некоррелированных случайных процессов, зависящих от d независимых параметров. Предполагается, что эти процессы имеют нулевое математическое ожидание и одинаковую непрерывную ковариационную функцию. К изучению такого рода случайных полей проявляется определенный интерес. Они возникают в теории пересечений и самопересечений процессов броуновских движений, рассматриваются в задачах о малых уклонениях и в задачах конечноранговой аппроксимации при сколь угодно большой параметрической размерности d. В последних задачах ключевую роль играют спектральные характеристики ковариационного оператора. Для данного аддитивного случайного поля зависимость собственных чисел его ковариационного оператора от собственных чисел ковариационного оператора маргинальных случайных процессов достаточно проста в случае, когда последний имеет тождественную единицу в качестве собственного вектора. В другом случае, когда условие о тождественной единице не выполнено, вышеуказанная зависимость сложна, что затрудняет изучение такого рода случайных полей. Здесь при разложении случайного поля на сумму его интеграла и его центрированной версии слагаемые будут ортогональны в пространстве L2([0, 1]d), но, вообще говоря, коррелированы. В настоящей статье мы приводим для данного случайного поля другое интересное разложение, существование которого было замечено авторами при решении задач конечноранговой аппроксимации этого поля в постановке в среднем. В полученном разложении слагаемые ортогональны в пространстве L2([0, 1]d) и некоррелированы, а при больших d они близки соответственно к интегралу от случайного поля и центрированной версии поля с малой относительной средней квадратической ошибкой.

Ключевые слова:

аддитивные случайные поля, разложение, ковариационная функция, ковариационный оператор, собственные пары, сложность аппроксимации в среднем

Скачивания

Данные скачивания пока недоступны.
 

Библиографические ссылки

Литература

Chen X., Li W. V. Small deviation estimates for some additive processes // Proc. Conf. High Dimensional Probab. III, Progress in Probability. Birkh¨auser, 2003. Vol. 55. P. 225–238.

Karol A., Nazarov A., Nikitin Ya. Small ball probabilities for Gaussian random fields and tensor products of compact operators // Trans. Amer. Math. Soc. 2008. Vol. 360, no. 3. P. 1443–1474.

Hickernell F. J., Wasilkowski G. W., Wo´zniakowski H. Tractability of linear multivariate problems in the average-case setting. In: Monte Carlo and Quasi-Monte Carlo Methods 2006 / Eds. A. Keller, S. Heinrich, H. Niederreiter. Berlin: Springer, 2008. P. 461–493.

Lifshits M. A., Zani M. Approximation complexity of additive random fields // J. Complexity. 2008. Vol. 24, no. 3. P. 362–379.

Lifshits M. A., Zani M. Approximation of additive random fields based on standard information: Average case and probabilistic settings // J. Complexity. 2015. Vol. 31, no. 5. P. 659–674.

Khartov A. A., Zani M. Asymptotic analysis of average case approximation complexity of additive random fields // J. Complexity. 2019. Vol. 52. P. 24–44.

Khartov A. A., Zani M. Approximation complexity of sums of random processes // J. Complexity. 2019. Vol. 54. Art. no. 101399.

Brown J. L. Mean Square truncation error in series expansions of random functions // J. Soc. Indust. Appl. Math. 1960. Vol. 8, no. 1. P. 28–32.

Ritter K. Average-case Analysis of Numerical Problems. In Ser.: Lecture Notes in Math. No. 1733. Berlin: Springer, 2000.

References

Chen X., Li W. V., “Small deviation estimates for some additive processes”, Proc. Conf. High Dimensional Probab. III, Progress in Probability 55, 225–238 (Birkh¨auser, 2003).

Karol A., Nazarov A., Nikitin Ya., “Small ball probabilities for Gaussian random fields and tensor products of compact operators”, Trans. Amer. Math. Soc. 360(3), 1443–1474 (2008).

Hickernell F. J., Wasilkowski G.W., Wo´zniakowski H., Tractability of linear multivariate problems in the average-case setting, in: Monte Carlo and Quasi-Monte Carlo Methods 2006, 461–493 (A. Keller, S. Heinrich, H. Niederreiter (eds.), Springer, Berlin, 2008).

Lifshits M. A., Zani M., “Approximation complexity of additive random fields”, J. Complexity 24(3), 362–379 (2008).

Lifshits M. A., Zani M., “Approximation of additive random fields based on standard information: Average case and probabilistic settings”, J. Complexity 31(5), 659–674 (2015).

Khartov A. A., Zani M., “Asymptotic analysis of average case approximation complexity of additive random fields”, J. Complexity 52, 24–44 (2019).

Khartov A. A., Zani M., “Approximation complexity of sums of random processes”, J. Complexity 54, 101399 (2019).

Brown J. L., “Mean Square truncation error in series expansions of random functions”, J. Soc. Indust. Appl. Math. 8(1), 28–32 (1960).

Ritter K., Average-case Analysis of Numerical Problems, in Ser. Lecture Notes in Math., no. 1733 (Springer, Berlin, 2000).

Загрузки

Опубликован

13.05.2020

Как цитировать

Зани, М., & Хартов, А. А. (2020). Об одном разложении аддитивных случайных полей. Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия, 7(1), 39–49. https://doi.org/10.21638/11701/spbu01.2020.104

Выпуск

Том 7 № 1 (2020)

Раздел

Математика

Лицензия

Статьи журнала «Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия» находятся в открытом доступе и распространяются в соответствии с условиями Лицензионного Договора с Санкт-Петербургским государственным университетом, который бесплатно предоставляет авторам неограниченное распространение и самостоятельное архивирование.