Линейные отображения, сохраняющие мажоризацию наборов матриц

Аннотация

В работе рассматриваются слабая, направленная и сильная мажоризации матриц. А именно, говорят, что матрица A слабо мажорируется матрицей B, если найдется такая строчно-стохастическая матрица X, что A = XB. Матрица A сильно мажорируется матрицей B, если найдется такая двояко-стохастическая матрица X, что A = XB. Наконец, B направленно мажорирует A, если вектор Bx мажорирует вектор Ax для любого вектора x в смысле стандартной векторной мажоризации. Мы вводим понятие мажоризации кортежей матриц, которое определяется как естественное обобщение мажоризаций матриц: для выбранного типа мажоризаций один кортеж матриц мажорируется другим кортежем того же размера, если каждая матрица «меньшего»
кортежа мажорируется матрицей «большего» кортежа, стоящей в той же позиции. Говорят, что линейный оператор сохраняет мажоризацию, если он переводит упорядоченные пары в упорядоченные пары, причем образ меньшего элемента не превосходит образ большего элемента. В работе получена полная характеризация линейных операторов, сохраняющих слабую, направленную или сильную мажоризации кортежей матриц, а также переводящих наборы, упорядоченные в смысле сильной мажоризации, в наборы, упорядоченные в смысле направленной мажоризации. Показано, что все такие отображения сохраняют соответствующую мажоризацию в каждой компоненте. Для каждого из трех рассматриваемых типов мажоризаций приведены примеры, демонстрирующие, что обратное утверждение неверно, т. е. из сохранения мажоризации матриц в каждой из компонент может не следовать сохранение мажоризации кортежей. 

Ключевые слова:

мажоризации матриц, векторные мажоризации, монотонные отображения