A method for finding the optimal solution of a differential inclusion

Authors

  • Alexander V. Fominyh

Abstract

В статье исследуется дифференциальное включение с заданным непрерывным выпуклым многозначным отображением. На заданном конечном промежутке времени требуется построить решение дифференциального включения, которое удовлетворяет заданным начальному и конечному условиям и доставляет минимум интегральному функционалу. С помощью аппарата опорных функций исходная задача сводится к минимизации некоторого функционала в пространстве кусочно-непрерывных функций. В случае непрерывности производной опорной функции многозначного отображения по фазовым переменным этот функционал дифференцируем по Гато. В статье найден градиент Гато, получены необходимые условия минимума данного функционала. На основании этих условий к исходной задаче применяется метод наискорейшего спуска. Численные примеры иллюстрируют работу построенного алгоритма.

Downloads

Download data is not yet available.

References

1. Половинкин Е.С. Многозначный анализ и дифференциальные включения. М.: Физматлит, 2014. 597 с.

2. Aubin J.-P., Frankowska H. Set-valued analysis. Birkhauser, Boston: Birkhauser, 1990. 461 p.

3. Благодатских В.И., Филиппов А.Ф. Дифференциальные включения и оптимальное управление // Труды МИАН. 1985. Т. 169. С. 194-252.

4. Cernea A., Georgescu C. Necessary optimality conditions for differential-difference inclusions with state constraints // J. Math. Anal. Appl. 2007. Vol. 344. P. 43-53.

5. Mordukhovich B.Sh. Discrete approximations and refined Euler-Lagrange conditions for nonconvex differential inclusions // SIAM J. Control Optim. 1995. Vol. 33, N 3. P. 887-915.

6. Pappas G.S. Optimal Solutions to Differential Inclusions in Presence of State Constraints // J. Optim. Theory Appl. 1984. Vol. 44, N 4. P. 657-679.

7. Zhu Q.J. Necessary Optimality Conditions for Nonconvex Differential Inclusions with Endpoint Constraints // Journal of Differential Equations. 1996. Vol. 124. P. 186-204.

8. Арутюнов А.В., Асеев С.М., Благодатских В.И. Необходимые условия первого порядка в задаче оптимального управления дифференциальным включением с фазовыми ограничениями // Матем. сб. 1993. Т. 184, № 6. С. 3-32. Перевод: Russian Acad. Sci. Sb. Math. 1994. Vol. 79, N 1. P. 117-139.

9. Асеев С.М. Метод гладких аппроксимаций в теории необходимых условий оптимальности для дифференциальных включений// Изв. РАН. Сер. матем. 1997. Т. 61. Вып. 2. С. 3-26. Перевод: Izv. Math. 1997. Vol. 61, N 2. P. 235-258.

10. Fominyh A.V., Karelin V.V., Polyakova L.N. Exact Penalties and Differential Inclusions // Electron. J. Diff. Equ. 2015. Vol. 2015, N 309. P. 1-13.

11. Никольский М.С. Об аппроксимации множества достижимости для управляемого процесса // Матем. заметки. 1987. Т. 41. Вып. 1. С. 71-76.

12. Никольский М.С. Об одном методе аппроксимации множества достижимости для дифференциального включения // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1988. Т. 28, № 8. С. 1252-1254.

13. Baier R., Gerdts M., Xausa I. Approximation of reachable sets using optimal control algorithms // Numer. Algebra Control Optim. 2013. Vol. 3. P. 519-548.

14. Panasyuk A.I. Equations of attainable set dynamics, Part 1: Integral funnel equations // J. Optim. Theory Appl. 1990. Vol. 64. P. 349-366.

15. Puri A., Borkar V., Varaiya P. ε-Approximation of differential inclusions // Proc. of International Hybrid Systems Workshop. Hybrid Systems III. In Ser. Lecture Notes in Computer Science. Vol. 1066. Springer, 1995. P. 362-376.

16. Благодатских В.И. Введение в оптимальное управление. М.: Высшая школа, 2001. 239 с.

17. Васильев Ф.П. Методы оптимизации. М.: Факториал Пресс, 2002. 824 с.

18. Bonnans J.F., Shapiro A. Perturbation Analysis of Optimization Problems. New York: Springer Science+Business Media, 2000. 600 p.

19. Демьянов В.Ф. Условия экстремума и вариационное исчисление. М.: Высшая школа, 2005. 335 с.

20. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977. 741 с.

21. Penot J.P. On the convergence of descent algorithms // Comput. Optim. Appl. 2002. Vol. 23. Iss. 3. P. 279-284.

22. Иглин С.П. Математические расчеты на базе MATLAB. СПб.: БХВ-Петербург, 2005. 640 с.

Downloads

Published

2020-08-19

How to Cite

Fominyh, A. V. (2020). A method for finding the optimal solution of a differential inclusion. Vestnik of Saint Petersburg University. Mathematics. Mechanics. Astronomy, 5(4), 645–657. Retrieved from https://math-mech-astr-journal.spbu.ru/article/view/8489

Issue

Vol. 5 No. 4 (2018)

Section

Mathematics

License

Articles of "Vestnik of Saint Petersburg University. Mathematics. Mechanics. Astronomy" are open access distributed under the terms of the License Agreement with Saint Petersburg State University, which permits to the authors unrestricted distribution and self-archiving free of charge.