Метод преобразования Фурье для уравнений в частных производных. Часть 2. Существование и единственность решений задачи Коши для линейных уравнений

Аннотация

В статье предлагается метод анализа задачи Коши для широкого класса эволюционных линейных уравнений в частных производных с переменными коэффициентами. Применением преобразования (обратного) Фурье исходное уравнение сводится к интегро-дифференциальному уравнению, которое можно рассматривать как обыкновенное дифференциальное уравнение в соответствующем банаховом пространстве. Подбор этого пространства осуществляется так, чтобы можно было воспользоваться принципом сжимающих отображений. Для проведения соответствующих оценок для операторов, порождаемых преобразованным уравнением, мы накладываем условия финитности по пространственной переменной для обратного Фурье-образа коэффициентов, а сами пространства коэффициентов исходного уравнения определяются из теорем Пэли-Винера о Фурье-образах. При этом используется аппарат теории интеграла Бохнера в псевдонормированных пространствах, а также теория счетно-нормированных пространств и пространств Соболева. Выделены классы функций, в которых доказано существование и единственность решений. Для уравнений с коэффициентами вида aα(t, x) = pα(t) · qα(x) получены точные решения в виде преобразования Фурье от конечных сумм для операторных экспонент. Эта работа является непосредственным продолжением статьи «Метод преобразования Фурье для уравнений в частных производных: формулы представления решений задачи Коши», опубликованной в 2022 г.

Ключевые слова:

преобразование Фурье, обобщенные функции с компактным носителем, свертка, интегро-дифференциальные уравнения, теорема Пэли-Винера, операторная экспонента