Метод преобразования Фурье для уравнений в частных производных: формулы представления решений задачи Коши

Аннотация

В работе предлагается метод решения задачи Коши для линейных уравнений в частных производных с переменными коэффициентами специального вида, позволяющий после применения (обратного) преобразования Фурье переписать исходную задачу как задачу Коши для уравнений в частных производных первого порядка. Полученная задача решается методом характеристик и к ее решению применяется (прямое) преобразование Фурье. А для этого необходимо знать решение задачи Коши для уравнения первого порядка во всей области определения. Это приводит к требованию компактности носителя (обратного) преобразования Фурье начальной функции исходной задачи, и для описания класса начальных функций необходимо воспользоваться теоремами типа Пэли - Винера -Шварца о Фурье-образах, в том числе и обобщенных функций. Приведено представление решений в виде преобразования Фурье от некоторой (обобщенной) функции, определяемой по начальной функции. При этом выписан общий вид эволюционного уравнения, приводящий при применении описанного метода к рассмотрению однородного уравнения первого порядка и выведена формула решения задачи Коши в этом общем случае. Также выписан общий вид уравнения, приводящий к рассмотрению неоднородного уравнения первого порядка, и выведена формула решений для него. Частными случаями этих уравнений являются известные уравнения, встречающиеся при описании различных процессов в физике, химии, биологии.

Ключевые слова:

преобразование Фурье, обобщенные функции с компактным носителем, метод характеристик