К вопросу компактности решений операторных неравенств, доставляемых частотной теоремой Лихтарникова — Якубовича
DOI:
https://doi.org/10.21638/spbu01.2020.405Аннотация
В работе исследуется вопрос компактности решений операторных неравенств, возникающих в связи с частотной теоремой Лихтарникова — Якубовича для C0-полугрупп. В работе получено описание операторного решения через решение некоторой сопряженной задачи, ранее известное в рамках предположений некоторой регулярности исходной задачи. Таким образом, получается связать компактность операторного решения с некоторой регулярностью полугруппы в общем случае. Мы также получаем теоремы, удобные для доказательства некомпактности операторных решений уравнений или неравенств Ляпунова, в которые вырождается операторное уравнение Риккати в некоторых случаях, возникающих в приложениях. На примере C0-полугруппы, порожденной скалярным уравнением с запаздывающим аргументом, которое рассматривается в некотором гильбертовом пространстве, показано, что решение операторного неравенства не может быть компактным. Полученные результаты связаны с развитием автором одного метода нелокальной редукции для коциклов в гильбертовом пространстве и его приложениями.Ключевые слова:
частотная теорема, неравенство Ляпунова, компактный оператор, уравнения с запаздыванием
Скачивания
No metrics available.
Библиографические ссылки
Литература
1. Krein S. G. Linear differential equations in Banach space. AMS, 1971.
2. Лихтарников А. Л., Якубович В. А. Частотная теорема для сильно непрерывных однопараметрических полугрупп // Известия Российской академии наук. Серия математическая. 1977. Т. 41, №4. P. 895–911.
3. Louis J.-Cl., Wexler D. The Hilbert space regulator problem and operator Riccati equation under stabilizability // Annales de la Soci´et´e Scientifique de Bruxelles. 1991. Vol. 105, no. 4. P. 137–165.
4. Аров Д. З., Якубович В. А. Условия полуограниченности квадратичных функционалов на пространствах Харди // Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. мат., мех., астроном. 1982. №1. P. 11.
5. Anikushin M. M. A non-local reduction principle for cocycles in Hilbert spaces // J. Differ. Equations. 2020. Vol. 269, no. 9. P. 6699–6731.
6. Anikushin M. M. The Poincar´e-Bendixson theory for certain semi-flows in Hilbert spaces. URL: https://arxiv.org/abs/2001.08627 (дата обращения: 25.10.2020)
7. Smith R. A. Orbital stability and inertial manifolds for certain reaction diffusion systems // Proceedings of the London Mathematical Society. 1994. Vol. 3, no. 1. P. 91–120.
8. Datko R. Extending a theorem of A. M. Liapunov to Hilbert space // J. Math. Anal. Appl. 1970. Vol. 32, no. 3. P. 610–616.
9. Triggiani R. An optimal control problem with unbounded control operator and unbounded observation operator where the algebraic Riccati equation is satisfied as a Lyapunov equation // Applied Mathematics Letter. 1997. Vol. 10, no. 2. P. 95–102.
10. Barbu V. Nonlinear semigroups and differential equations in Banach spaces. Springer, 1976.
11. Likhtarnikov A. L., Yakubovich V. A. The frequency theorem for equations of evolutionary type // Sib. Math. J. 1976. Vol. 17, no. 5. P. 790–803.
12. Lions J. L. Optimal control of systems governed by partial differential equations. Springer-Verlag, 1971.
13. Gusev S. V. Extended Kalman — Yakubovich — Popov Lemma in a Hilbert Space and Fenchel Duality // Proceedings of the 44th IEEE Conference on Decision and Control. 2005.
14. Anikushin M. M. Frequency theorem for the regulator problem with unbounded cost functional and its applications to nonlinear delay equations. URL: https://arxiv.org/abs/2003.12499v2 (дата обращения: 25.10.2020).
15. Proskurnikov A. V. A new extension of the infinite-dimensional KYP lemma in the coercive case // IFAC-PapersOnLine. 2015. Vol. 48, no. 11. P. 246–251.
16. Kuznetsov N. V., Reitmann V. Attractor Dimension Estimates for Dynamical Systems: Theory and Computation. Switzerland: Springer International Publishing AG, 2020.
17. Anikushin M. M. On the Smith reduction theorem for almost periodic ODEs satisfying the squeezing property // Rus. J. Nonlin. Dyn. 2019. Vol. 15, no. 1. P. 97–108.
18. Аникушин М. М., Райтманн Ф., Романов А. О. Аналитические и численные оценки фрактальнойразмерности вынужденных квазипериодических колебанийв системах управления // Дифференциальные уравнения и процессы управления. 2019. Т. 87, №2.
19. Anikushin M. M. On the Liouville Phenomenon in Estimates of Fractal Dimensions of Forced Quasi-Periodic Oscillations // Vestnik St. Petersburg University, Mathematics. 2019. Vol. 52, no. 3. P. 234–243.
20. Helemskii A. Ya. Lectures and exercises on functional analysis. Providence. RI: American Mathematical Society, 2006.
21. Wexler D. On frequency domain stability for evolution equations in Hilbert spaces via the algebraic Riccati equation // SIAM Journal on Mathematical Analysis. 1980. Vol. 11, no. 6. P. 969–983.
References
1. Krein S. G., Linear Differential Equations in Banach Space (AMS, 1971).
2. Likhtarnikov A. L., Yakubovich V. A., “The frequency theorem for continuous one-parameter semigroups”, Math. USSR-Izv. 41(4), 895–911 (1977). (In Russian)
3. Louis J.-Cl., Wexler D., “The Hilbert space regulator problem and operator Riccati equation under stabilizability”, Annales de la Soci´et´e Scientifique de Bruxelles 105(4), 137–165 (1991).
4. Arov D. Z., Yakubovich V. A., “Semiboundedness conditions for quadratic functionals on Hardy spaces”, Vestn. Leningr. Univ., Ser. Mat. Mekh. Astron. iss. 1, 7–13 (1982).
5. Anikushin M. M., “A non-local reduction principle for cocycles in Hilbert spaces”, J. Differ. Equations 269(9), 6699–6731 (2020).
6. Anikushin M. M., “The Poincar´e — Bendixson theory for certain semi-flows in Hilbert spaces”. Available at: https://arxiv.org/abs/2001.08627 (accessed: October 25, 2020).
7. Smith R. A., “Orbital stability and inertial manifolds for certain reaction diffusion systems”, Proceedings of the London Mathematical Society 3(1), 91–120 (1994).
8. Datko R., “Extending a theorem of A. M. Liapunov to Hilbert space”, J. Math. Anal. Appl. 32(3), 610–616 (1970).
9. Triggiani R., “An optimal control problem with unbounded control operator and unbounded observation operator where the algebraic Riccati equation is satisfied as a Lyapunov equation”, Applied Mathematics Letters 10(2), 95–102 (1997).
10. Barbu V., Nonlinear Semigroups and Differential Equations in Banach Spaces (Springer, 1976).
11. Likhtarnikov A. L., Yakubovich V. A., “The frequency theorem for equations of evolutionary type”, Sib. Math. J. 17(5), 790–803 (1976).
12. Lions J. L., Optimal Control of Systems Governed by Partial Differential Equations Springer-Verlag, 1971).
13. Gusev S. V., “Extended Kalman — Yakubovich — Popov Lemma in a Hilbert Space and Fenchel Duality”, Proceedings of the 44th IEEE Conference on Decision and Control (2005).
14. Anikushin M. M., “Frequency theorem for the regulator problem with unbounded cost functional and its applications to nonlinear delay equations”. Available at: https://arxiv.org/abs/2003.12499v2 (accessed: October 25, 2020).
15. Proskurnikov A. V., “A new extension of the infinite-dimensional KYP lemma in the coercive case”, IFAC-PapersOnLine 48(1), 246–251 (2015).
16. Kuznetsov N. V., Reitmann V., Attractor Dimension Estimates for Dynamical Systems: Theory and Computation (Springer International Publishing AG, Switzerland, 2020).
17. Anikushin M. M., “On the Smith reduction theorem for almost periodic ODEs satisfying the squeezing property”, Rus. J. Nonlin. Dyn. 15(1), 97–108 (2019).
18. Anikushin M. M., Reitmann V., Romanov A. O., “Analytical and numerical estimates of the fractal dimension of forced quasiperiodic oscillations in control systems”, Differential Equations and Control Processes 87(2) (2019). (In Russian)
19. Anikushin M. M., “On the Liouville Phenomenon in Estimates of Fractal Dimensions of Forced Quasi-Periodic Oscillations”, Vestnik St. Petersburg University, Mathematics 52(3), 234–243 (2019).
20. Helemskii A. Ya., Lectures and Exercises on Functional Analysis (American Mathematical Society, Providence, RI, 2006).
21. Wexler D., “On frequency domain stability for evolution equations in Hilbert spaces via the algebraic Riccati equation”, SIAM Journal on Mathematical Analysis 11(6), 969–983 (1980).
Загрузки
Опубликован
27.12.2020
Как цитировать
Аникушин, М. М. (2020). К вопросу компактности решений операторных неравенств, доставляемых частотной теоремой Лихтарникова — Якубовича. Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия, 7(4), 622–635. https://doi.org/10.21638/spbu01.2020.405
Выпуск
Раздел
Математика
Лицензия
Статьи журнала «Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия» находятся в открытом доступе и распространяются в соответствии с условиями Лицензионного Договора с Санкт-Петербургским государственным университетом, который бесплатно предоставляет авторам неограниченное распространение и самостоятельное архивирование.
