О явлении Лиувилля в оценках фрактальных размерностей вынужденных квазипериодических колебаний

Михаил Михайлович Аникушин

Авторы

Михаил Михайлович Аникушин

Аннотация

В работе развивается метод для изучения фрактальных размерностей вынужденных почти периодических колебаний в различных дифференциальных уравнениях. Метод основывается на ранее введенном понятии диофантовой размерности почти периодической функции, которое тесно связано с диофантовыми приближениями ее частот. Получены оценки диофантовой размерности для некоторых классов квазипериодических функций. Приложение метода продемонстрировано на примере одного класса систем управления, изученного В. А.Якубовичем. В результате можно наблюдать теоретико-числовое явление (явление Лиувилля), проявляющееся в невозможности управления фрактальной размерностью вынужденных колебаний с хорошо аппроксимируемыми частотами.

Скачивания

Данные скачивания пока недоступны.

Библиографические ссылки

1. Anikushin M.M. Dimension theory approach to the complexity of almost periodic trajectories // International Journal of Evolution Equations. 2017. Vol. 10, no. 3-4. P. 215-232.

2. Anikushin M.M. Badly approximable numbers and the growth rate of the inclusion length of an almost periodic function // Proc. of International Student Conference in Saint-Petersburg State University "Science and Progress". 2016. P. 46-50.

3. Cassels J.W. S. An introduction to Diophantine approximation. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1957.

4. Naito K. Fractal dimensions of almost periodic attractors // Ergodic Theory Dyn. Syst. 1996. Vol. 16, no. 4. P. 791-803.

5. Siegel C. L. Lectures on the geometry of numbers. Springer Science & Business Media, 2013.

6. Anikushin M.M. Dimensional aspects of almost periodic dynamics // In book [8].

7. Moser J. On commuting circle mappings and simultaneous diophantine approximations // Mathematische Zeitschrift. 1990. Vol. 205, no. 1. P. 105-121.

8. Leonov G.A., Kuznetsov N.V., Reitmann V. Attractor dimension estimates for dynamical systems: theory and computation. Switzerland: Springer International Publishing AG, 2019.

9. Leonov G.A., Alexeeva T.A. Estimates of the Lyapunov dimension of attractors for generalized Rössler systems // Vestnik St. Petersburg University: Mathematics. 2014. Vol. 47, no. 4. P. 154-158. DOI: 10.3103/S1063454114040050

10. Pankov A.A. Bounded and almost periodic solutions of nonlinear operator differential equations. London: Kluwer Academic Publishers, 1990.

11. Якубович В.А. Метод матричных неравенств в теории устойчивости нелинейных регулируемых систем. I. Абсолютная устойчивость вынужденных колебаний // Автоматика и телемеханика. 1964. Вып. 25, №7. С. 1017-1029.

12. Якубович В.А. Периодические и почти периодические предельные режимы регулируемых систем с несколькими, вообще говоря, разрывными нелинейностями // Доклады Академии наук. 1966. Вып. 171, №3. С. 533-536.

13. Hunt B.R., Sauer T., Yorke J.A. Prevalence: a translation-invariant "almost every" on infinitedimensional spaces // Bulletin of the American Mathematical Society. 1992. Vol. 27, no. 2. P. 217-238.

14. Понтрягин Л. С. Топологические группы. М.: Наука, 1973.

15. Зинченко И.Л. О группе характеров замыкания почти периодической траектории автономной системы дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения. 1988. Вып. 24, №6. С. 1043-1045.

16. Cartwright M.L. Almost periodic flows and solutions of differential equations // Proc. London Math. Soc. 1967. Vol. 3, no. 2. P. 355-380.

17. Samoilenko A.M. Elements of the mathematical theory of multi-frequency oscillations. Dordrecht: Springer Science & Business Media, 1991.