Использование главных координат в задаче о гашении колебаний тележки с двумя маятниками

Аннотация

Конструктивно применять к задаче о гашении колебаний тележки с двумя маятниками принцип максимума Понтрягина и обобщённый принцип Гаусса можно в том случае, когда система уравнений, описывающая управляемое движение тележки с двумя маятниками, записана в главных координатах. В работе показывается, что эти уравнения могут быть получены без громоздких преобразований, связанных с представлением кинетической и потенциальной энергий рассматриваемой механической системы в главных координатах. Первоначально составляются уравнения Лагранжа второго рода относительно простейших лагранжевых координат, которыми являются горизонтальное перемещение тележки и углы поворота маятников. Затем из них исключается перемещение тележки. Оставшиеся два уравнения относительно двух углов поворота маятников позволяют определить две ненулевые собственные частоты и соответствующие им формы колебаний данной механической системы. Зная эти частоты и формы, будем знать, как при собственных колебаниях углы поворота маятников связаны с главными координатами. Переходя в двух уравнениях относительно двух углов к главным координатам, получим две независимые линейные комбинации искомых уравнений в главных координатах. Это и позволяет определить их достаточно просто. Присоединяя к ним уравнение движения центра масс и переходя во всех уравнениях к безразмерным переменным, в результате получим систему трех уравнений в главных координатах, записанную в простейшей форме.

Ключевые слова:

теория управления, гашение колебаний, уравнения Лагранжа, главные координаты