О контактных задачах с деформируемым штампом и изменяемой реологией
DOI:
https://doi.org/10.21638/spbu01.2023.401Аннотация
Статья посвящена методам исследования и решения контактных задач с деформируемым штампом, когда требуется изменение реологии материала штампа. Основой является новый универсальный метод моделирования, применяемый в граничных задачах для систем дифференциальных уравнений в частных производных. С помощью этого метода решения сложных векторных граничных задач для систем дифференциальных уравнений можно раскладывать по решениям скалярных граничных задач для отдельных дифференциальных уравнений. Примером простых уравнений являются уравнения Гельмгольца. Решения скалярных граничных задач представлены в виде фракталов, самоподобных математических объектов, впервые введенных американским математиком Б. Мандельбротом. Фракталы выполняют роль упакованных блочных элементов. Переход от систем дифференциальных уравнений к отдельным уравнениям осуществляется с помощью преобразования академика Б. Г. Галеркина или представления потенциалами. Решения динамических контактных задач с деформируемым штампом сложной реологии являются громоздкими, и их исследование всегда затруднительно. Проблема усложняется наличием в таких задачах решения дискретных резонансных частот, в свое время обнаруженных академиком И. И. Воровичем.
Ключевые слова:
контактная задача, блочный элемент, деформируемый штамп, фракталы, реология, уравнения Ламе, Винера - Хопфа
Скачивания
Данные скачивания пока недоступны.
Библиографические ссылки
Литература
1. Papangelo A., Ciavarella M., Barber J.R. Fracture mechanics implications for apparent static friction coefficient in contact problems involving slip-weakening laws. Proc. R. Soc. A. 471, 20150271 (2015). https://doi.org/10.1098/rspa.2015.0271
2. Zhou S., Gao X. L. Solutions of half-space and half-plane contact problems based on surface elasticity. Z. Angew. Math. Phys. 64, 145-166 (2013). https://doi.org/10.1007/s00033-012-0205-0
3. Almqvist A. An LCP solution of the linear elastic contact mechanics problem. Available at: https://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/43216-an-lcp-solution-of-the-linearelastic-contact-mechanics-problem (2013). http://doi.org/10.13140/RG.2.1.3960.7200
4. Cocou M. A class of dynamic contact problems with Coulomb friction in viscoelasticity. Nonlinear Analysis: Real World Applications 22, 508-519 (2015). https://doi.org/10.1016/j.nonrwa.2014.08.012
5. Ciavarella M. The generalized Cattaneo partial slip plane contact problem. I. Theory. Int. J. Solids Struct 35 (18), 2349-2362 (1998). https://doi.org/10.1016/S0020-7683(97)00154-6
6. Ciavarella M. The generalized Cattaneo partial slip plane contact problem. II. Examples. Int. J. Solids Struct. 35 (18), 2363-2378 (1998). https://doi.org/10.1016/S0020-7683(97)00155-8
7. Guler M.A., Erdogan F. The frictional sliding contact problems of rigid parabolic and cylindrical stamps on graded coatings. Int. J. Mech. Sci. 49 (2), 161-182 (2007). https://doi.org/10.1016/j.ijmecsci.2006.08.006
8. Ke L.-L.,Wang Y.-S. Two-dimensional sliding frictional contact of functionally graded materials. Eur. J. Mech. A/Solids 26 (1), 171-188 (2007). https://doi.org/10.1016/j.euromechsol.2006.05.007
9. Almqvist A., Sahlin F., Larsson R., Glavatskih S. On the dry elasto-plastic contact of nominally flat surfaces. Tribology International 40 (4), 574-579 (2007). https://doi.org/10.1016/j.triboint.2005.11.008
10. Andersson L.E. Existence results for quasistatic contact problems with Coulomb friction. Appl. Math. Optim. 42, 169-202 (2000). https://doi.org/10.1007/s002450010009
11. Cocou M., Rocca R. Existence results for unilateral quasistatic contact problems with friction and adhesion. Math. Modelling and Num. Analysis 34 (5), 981-1001 (2000).
12. Kikuchi N., Oden J. Contact Problems in Elasticity: A Study of Variational Inequalities and Finite Element Methods. Philadelphia, SIAM (1988).
13. Raous M., Cang´emi L., Cocou M. A consistent model coupling adhesion, friction, and unilateral contact. Comput. Meth. Appl. Mech. Engrg. 177, 383-399 (1999). https://doi.org/10.1016/S0045-7825(98)00389-2
14. Shillor M., Sofonea M., Telega J. J. Models and Analysis of Quasistatic Contact. Lect. Notes Phys., vol. 655. Berlin, Heidelberg, Springer (2004). https://doi.org/10.1007/b99799
15. Бабешко В.А., Евдокимова О.В., Бабешко О.М. О контактных задачах с деформируемым штампом. Проблемы прочности и пластичности 84 (1), 25-34 (2022). https://doi.org/10.32326/1814-9146-2022-84-1-25-34
16. Ворович И.И., Бабешко В.А. Динамические смешанные задачи теории упругости для неклассических областей. Москва, Наука (1979).
17. Бабешко В.А., Евдокимова О.В., Бабешко О.М. Фрактальные свойства блочных элементов и новыйуниверсальный метод моделирования. Доклады Академии наук 499, 21-26 (2021). https://doi.org/9.31857/S2686740021040039
18. Бабешко В.А., Евдокимова О.В., Бабешко О.М. Об одном методе решения граничных задач динамическойтеории упругости в четверть плоскости. Прикладная математика и механика 85 (3), 275-282 (2021). https://doi.org/10.31857/S0032823521030024
19. Новацкий В. Теория упругости. Москва, Мир (1975).
20. Бабешко В.А., Евдокимова О. В., Бабешко О.М. Об однойфакторизационной задаче Гильберта-Винера и методе блочного элемента. Доклады Академии наук 459 (5), 557-561 (2014).
21. Babeshko V.A., Evdokimova O.V., Babeshko O.M. On the problem of evaluating the behavior of multicomponent materials in mixed boundary conditions in contact problems. Materials Physics and Mechanics 48 (3), 379-385 (2022). https://doi.org/10.18720/MPM.48(3)2022_8
22. Ворович И.И. Спектральные свойства краевой задачи теории упругости для неоднородной полосы. Доклады Академии наук СССР 245 (4), 817-820 (1979).
23. Ворович И.И. Резонансные свойства упругойнео днороднойполосы. Доклады Академии наук СССР 245 (5), 1076-1079 (1979).
References
1. Papangelo A., Ciavarella M., Barber J.R. Fracture mechanics implications for apparent static friction coefficient in contact problems involving slip-weakening laws. Proc. R. Soc. A. 471, 20150271 (2015). https://doi.org/10.1098/rspa.2015.0271
2. Zhou S., Gao X. L. Solutions of half-space and half-plane contact problems based on surface elasticity. Z. Angew. Math. Phys. 64, 145-166 (2013). https://doi.org/10.1007/s00033-012-0205-0
3. Almqvist A. An LCP solution of the linear elastic contact mechanics problem. Available at: https://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/43216-an-lcp-solution-of-the-linearelastic-contact-mechanics-problem (2013). http://doi.org/10.13140/RG.2.1.3960.7200
4. Cocou M. A class of dynamic contact problems with Coulomb friction in viscoelasticity. Nonlinear Analysis. Real World Applications 22, 508-519 (2015). https://doi.org/10.1016/j.nonrwa.2014.08.012
5. Ciavarella M. The generalized Cattaneo partial slip plane contact problem. I. Theory. Int. J. Solids Struct 35 (18), 2349-2362 (1998). https://doi.org/10.1016/S0020-7683(97)00154-6
6. Ciavarella M. The generalized Cattaneo partial slip plane contact problem. II. Examples. Int. J. Solids Struct 35 (18), 2363-2378 (1998). https://doi.org/10.1016/S0020-7683(97)00155-8
7. Guler M.A., Erdogan F. The frictional sliding contact problems of rigid parabolic and cylindrical stamps on graded coatings. Int. J. Mech. Sci 49 (2), 161-182 (2007). https://doi.org/10.1016/j.ijmecsci.2006.08.006
8. Ke L.-L.,Wang Y.-S. Two-dimensional sliding frictional contact of functionally graded materials. Eur. J. Mech. A/Solids 26 (1), 171-188 (2007). https://doi.org/10.1016/j.euromechsol.2006.05.007
9. Almqvist A., Sahlin F., Larsson R., Glavatskih S. On the dry elasto-plastic contact of nominally flat surfaces. Tribology International 40 (4), 574-579 (2007). https://doi.org/10.1016/j.triboint.2005.11.008
10. Andersson L.E. Existence results for quasistatic contact problems with Coulomb friction. Appl. Math. Optim. 42, 169-202 (2000). https://doi.org/10.1007/s002450010009
11. Cocou M., Rocca R. Existence results for unilateral quasistatic contact problems with friction and adhesion. Math. Modelling and Num. Analysis 34 (5), 981-1001 (2000).
12. Kikuchi N., Oden J. Contact Problems in Elasticity: A Study of Variational Inequalities and Finite Element Methods SIAM, Philadelphia (1988).
13. Raous M., Cang´emi L., Cocou M. A consistent model coupling adhesion, friction, and unilateral contact. Comput. Meth. Appl. Mech. Engrg. 177, 383-399 (1999). https://doi.org/10.1016/S0045-7825(98)00389-2
14. Shillor M., Sofonea M., Telega J. J. Models and Analysis of Quasistatic Contact. Lect. Notes Phys., vol. 655. Berlin, Heidelberg, Springer (2004). https://doi.org/10.1007/b99799
15. Babeshko V.A., Evdokimova O.V., Babeshko O.M. On contact problems with a deformable stamp. Problems of strength and ductility 84 (1), 25-34 (2022). https://doi.org/10.32326/1814-9146-2022-84-1-25-34 (In Russian)
16. Vorovich I. I., Babeshko V.A. Dynamic mixed problems of elasticity theory for non-classical domains. Moscow, Nauka Publ. (1979). (In Russian)
17. Babeshko V.A., Evdokimova O.V., Babeshko O.M. Fractal properties of block elements and a new universal modeling method. Doklady Akademii nauk 499, 21-26 (2021). https://doi.org/9.31857/S2686740021040039 (In Russian)
18. Babeshko V.A., Evdokimova O.V., Babeshko O.M. On one method for solving boundary value problems of dynamic theory of elasticity in a quarter-plane. Applied Mathematics and Mechanics 85 (3), 275-282 (2021). https://doi.org/10.31857/S0032823521030024 (In Russian)
19. Novatsky V. Theory of elasticity. Moscow, Mir Publ. (1975). (In Russian)
20. Babeshko V.A., Evdokimova O.V., Babeshko O.M. On one Hilbert-Wiener factorization problem and the block element method. Doklady Akademii nauk 459 (5), 557-561 (2014). (In Russian)
21. Babeshko V.A., Evdokimova O.V., Babeshko O.M. On the problem of evaluating the behavior of multicomponent materials in mixed boundary conditions in contact problems. Materials Physics and Mechanics 48 (3), 379-385 (2022). https://doi.org/10.18720/MPM.48(3)2022_8
22. Vorovich I. I. Spectral properties of the boundary value problem of elasticity theory for an inhomogeneous strip. Doklady of the USSR Academy of Sciences 245 (4), 817-820 (1979). (In Russian)
23. Vorovich I. I. Resonance properties of an elastic inhomogeneous strip. Doklady of the USSR Academy of Sciences 245 (5), 1076-1079 (1979). (In Russian)
Загрузки
Опубликован
23.12.2023
Как цитировать
Бабешко, В. А., Евдокимова, О. В., Бабешко, О. М., Зарецкая, М. В., & Евдокимов, В. С. (2023). О контактных задачах с деформируемым штампом и изменяемой реологией. Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия, 10(4), 588–599. https://doi.org/10.21638/spbu01.2023.401
Выпуск
Раздел
К юбилею А. К. Беляева
Лицензия
Статьи журнала «Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия» находятся в открытом доступе и распространяются в соответствии с условиями Лицензионного Договора с Санкт-Петербургским государственным университетом, который бесплатно предоставляет авторам неограниченное распространение и самостоятельное архивирование.
