Об определителе Несбитта — Карлица

Аннотация

Изучается матрица, составленная из биномиальных коэффициентов, определитель которой ранее вычислил Л. Карлиц. Показано, что матрица Карлица возникает при биномиальной специализации детерминантного представления некоторой специальной функции Шура, которое в теории симметрических функций носит название дуальной формулы Якоби — Труди. Таким образом, дано альтернативное вычисление определителя Карлица, опирающееся на теорию симметрических функций. Показано, что собственные значения матрицы Карлица также являются степенями двойки. Для вычисления собственных значений матрицы используется подходящий линейный оператор на векторном пространстве многочленов степени, не превосходящей данной, и показано, как в подходящем базисе его матрица приводится к треугольному виду со степенями двойки по диагонали. Основной результат обобщен с квадратичного на кубический случай, который отвечает некоторой матрице из триномиальных коэффициентов.

Ключевые слова:

линейная алгебра, биномиальные коэффициенты, симметрические функции, собственные значения