О кубических формулах Рамануджана упрощения вложенных радикалов

Авторы

  • Михаил Александрович Антипов Национальныйисследовательскийуниверситет Высшая школа экономики; Санкт-Петербургский государственный университет
  • Константин Игоревич Пименов Санкт-Петербургский государственный университет

Аннотация

В работе предлагается объяснение формулам типа формулы Рамануджана для извлечения кубических корней из некоторых кубических иррациональностей в ситуации, когда этот корень попадает в чисто кубическое расширение. Дается полное описание формул такого типа в качестве ответа на вопрос Зиппеля. Оказывается, что формулы типа формулы Рамануджана в некотором смысле исчерпывают ситуацию, в частности в правой части может стоять не более трех слагаемых и норма исходной иррациональности должна быть кубом. При таком ограничении мы сопоставляем кубическим иррациональностям циклический кубический многочлен, разложимость которого (над
полем рациональных чисел) равносильна возможности упрощения соответствующего двухэтажного радикала. Это обращает так называемое соответствие Рамануджана, описанное в предыдущих работах, когда циклическому уравнению сопоставлялось чисто кубическое расширение.

Ключевые слова:

формулы Рамануджана, упрощение радикалов, соответствие Рамануджана

Скачивания

Данные скачивания пока недоступны.

Библиографические ссылки

1. Berndt B. C. Ramanujan notebook's. Part IV. Springer-Verlag, 1994.

2. Zippel R. Simplification of expressions involving radicals // Journal of Symbolic Computation. 1985. Vol. 1. P. 189-210.

3. Honsbeek M. Radical extensions and Galois groups. PhD thesis at Radboud Universiteit Nijmegen, 2005.

4. Blomer J. How to denest Ramanujan's nested radicals // 33rd Annual IEEE Symposium on Foundations of Computer Science, October, Pittsburg, PA, 1992.

5. Крепкий И. А., Пименов К. И. Формулы Рамануджана с кубическими корнями и элементарная теория Галуа // Вестник С-Петерб. ун-та. Серия 1. Математика. Механика. Астрономия. 2015. Т. 2 (60). Вып. 4. С. 553-563.

6. Антипов М., Пименов К. О некоторых мультипликативных структурах на кубических расширениях // Зап. научн. сем. ПОМИ. 2018. Т. 470. С. 5-20.

7. Barbero S., Cerruti U., Murru N., Abrate M. Identities involving zeros of Ramanujan and Shanks cubic polynomials // Journal of Integer Sequences. 2013. Vol. 16, no. 8. Art. no. 13.8.1.

8. Shanks D. The simplest cubic fields // Math. Comp. 1974. Vol. 28. P. 1137-1152.

9. Witula R. Ramanujan type trigonometric formulae // Demonstratio Math. 2012. Vol. 45, no. 4. P. 779-796.

Загрузки

Опубликован

15.08.2020

Как цитировать

Антипов, М. А., & Пименов, К. И. (2020). О кубических формулах Рамануджана упрощения вложенных радикалов. Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия, 7(2), 187–196. извлечено от https://math-mech-astr-journal.spbu.ru/article/view/8368

Выпуск

Том 7 № 2 (2020)

Раздел

К юбилею А. И. Генералова

Лицензия

Статьи журнала «Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия» находятся в открытом доступе и распространяются в соответствии с условиями Лицензионного Договора с Санкт-Петербургским государственным университетом, который бесплатно предоставляет авторам неограниченное распространение и самостоятельное архивирование.