Функциональная лемма Хазевинкеля и классификация формальных групп

Аннотация

Основная область применения формальных групп — алгебраическая геометрия и теория полей классов. В последней используются как классический символ Гильберта (символ норменного вычета), так и его обобщения. Одна из важнейших задач — нахождение явных формул для различных модификаций данного символа, связанных с формальными группами. Заметим, что имеется два подхода к построению формальных групп (то есть степенных рядов, удовлетворяющих определенным условиям). Доказанная Хазевинкелем функциональная лемма позволяет составлять формальные группы с коэффициентами из кольца нулевой характеристики при помощи функциональных уравнений, использующих некий идеал этого кольца, надполе кольца и кольцевой гомоморфизм с заданными свойствами (например, тождественный, а для локального поля может быть выбран гомоморфизм Фробениуса). Есть удобный критерий изоморфности построенных по формуле Хазевинкеля формальных групп, а также формула для логарифмов (в частности, логарифма Артина — Хассе). В то же время у Любина с Тейтом формальные группы над локальными полями строятся при помощи изогении, а Хонда для построения формальных групп над кольцом целых
дискретно нормированного поля характеристики ноль вводит некое некоммутативное кольцо, индуцированное исходным кольцом и фиксированным гомоморфизмом. В представленной работе устанавливается связь между классической классификацией формальных групп (стандартных, обобщенных и относительных формальных групп Любина — Тейта и формальных групп Хонды) и их классификацией при помощи функциональной леммы Хазевинкеля. Для каждого типа составляются соответствующие функциональные уравнения и изучаются логарифмы, а также ряды, использующиеся при построении явной формулы символа Гильберта.

Ключевые слова:

локальные поля, формальные группы, символ Гильберта, классификация Хазевинкеля