Порядок Шарковского и оценки числа периодических траекторий данного периода отображений отрезка

Аннотация

В 1964 году А.Н.Шарковский опубликовал статью, в которой было введено отношение порядка на множестве натуральных чисел, обладающее тем свойством, что если у отображения отрезка в себя имеется периодическая траектория некоторого периода, то у этого отображения есть периодические траектории любого большего периода. Наименьшим числом относительно этого отношения порядка является число 3. Таким образом, если у отображения отрезка в себя есть траектория периода 3, то у него есть траектории любых периодов. В 1975 году последний результат был переоткрыт Ли и Йорком, опубликовавшим статью "Period three implies chaos". Их работа привела к международному признанию результата, полученного Шарковским. С тех пор было опубликовано огромное число работ, связанных с изучением свойств отображений отрезка. А в 1994 году даже была проведена конференция "Thirty years after Sharkovskii’s theorem: New perspectives". Одно из направлений исследований было связано с оценкой числа периодических траекторий, которое должно иметь отображение, удовлетворяющее условиям теоремы Шарковского. В 1985 году Бау-Сен Ду опубликовал работу, в которой была получена точная оценка снизу для числа периодических траекторий заданного периода. В настоящей статье приводится новое, существенно более короткое и естественное доказательство этого результата.