Об одном алгебраическом тождестве и формуле Якоби—Труди

Аннотация

Первое тождество Якоби—Труди выражает полиномы Шура в виде определителей матриц, элементами которых являются полные однородные многочлены. Определение многочленов Шура было дано Коши в 1815 году в виде частного определителей, построенных по некоторым разбиениям. Полиномы Шура приобрели важное значение ввиду их тесной связи с характерами неприводимых представлений симметрической группы и полной линейной группы, а также ввиду их многочисленных применений в комбинаторике. Впервые тождество Якоби—Труди было сформулировано Якоби в 1841 году и доказано Никола Труди в 1864 году. С тех пор это тождество и его многочисленные обобщения были в центре внимания благодаря той роли, которую они играют в различных областях математики, включая математическую физику, теорию представлений и алгебраическую геометрию. Были найдены разнообразные доказательства этого тождества, основанные на разных идеях (в частности, естественное комбинаторное доказательство, использующее технику диаграм Юнга). В нашей статье мы приводим короткое и простое доказательство первого тождества Якоби—Труди и обсуждаем его связи с другими хорошо известными полиномиальными тождествами. Библиогр. 3 назв.