On problems of the theory of stability of weakly hyperbolic invariant sets

Authors

  • Nikita A. Begun St. Petersburg State University

DOI:

https://doi.org/10.21638/11701/spbu01.2020.211

Abstract

This paper represents a brief survey of the theory of stability of weakly hyperbolic invariant sets. In a series of papers published by the author together with V. A. Pliss and G. R. Sell, it was proved that a weakly hyperbolic invariant set is stable even in the absence of the Lipschitz condition. However, the question of uniqueness of leafs of a weakly hyperbolic invariant set of a perturbed system remains open. The paper shows the relationship of this problem with the so-called plaque expansivity conjecture in the theory of dynamical systems.

Keywords:

stability, weak hyperbolicity, leaf set, perturbed system, singularity, plaque espansivity conjecture

Downloads

Download data is not yet available.
 

References

1. Pliss V. A., Sell G. R. Perturbations of attractors of differential equations // J. Differential Equations. 1991. Vol. 92. P. 100-124.

2. Pliss V. A., Sell G. R. Approximation Dynamics and the Stability of Invariant Sets // J. Differential Equations. 1997. Vol. 149. P. 1-51.

3. Pliss V. A., Sell G. R. Approximations of the long-time dynamics of the Navier - Stokes equations. In: Differential Equations and Geometric Dynamics: Control Science and Dynamical Systems. Lecture Notes. 1993. Vol. 152. P. 247-277.

4. Плисс В. А. Интегральные множества периодических систем дифференциальных уравнений. М., 1977.

5. Монаков В. Н. Расположение интегральных поверхностей у слабо нелинейных систем дифференциальных уравнений // Вестн. Ленинград. ун-та. 1973. Вып. 1. С. 68-74.

6. Fenichel N. Persistence and smoothness of invariant manifolds for flows // Indiana Univ. Math. J. 1971. Vol. 21. P. 193-226.

7. Kelley Al. Stability of the center-stable manifold // J. Math. Anal. Appl. 1967. Vol. 18. P. 336-344.

8. Kelley Al. The stable, center-stable, center, center-unstable, unstable manifolds // J. Differential Equations. 1967. Vol. 3. P. 546-570.

9. Плисс В. А. Принцип сведения в теории устойчивости движения // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1964. Вып. 28. С. 1297-1324.

10. Hirsch M. W., Pugh C. C., Shub M. Invariant Manifolds. In: Lecture Notes in Mathematics. Vol. 583. New York: Springer-Verlag, 1977.

11. Sacker R. J. A perturbation theorem for invariant manifolds and Holder continuity // J. Math. Mech. 1969. Vol. 18. P. 705-762.

12. Sell G. R. The structure of a flow in the vicinity of an almost periodic motion // J. Differential Equations. 1978. Vol. 27. P. 359-393.

13. Smale S. Differentiable dynamical systems // Bull. Amer. Math. Soc. 1967. Vol. 73. P. 747-817.

14. Temam R. Infinite Dimensional Dynamical Systems in Mechanics and Physics. New York: Springer-Verlag, 1988.

15. Песин Я. Лекции по теории частичной гиперболичности и устойчивой эргодичности. МЦНМО, 2004.

16. Бегун Н. А. Об устойчивости листовых инвариантных множеств двумерных периодических систем // Вестник С-Петерб. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. Астрономия. 2012. Вып. 4. С. 3- 12.

17. Бегун Н. А. О замкнутости листового инвариантного множества возмущенной системы // Дифференциальные уравнения и процессы управления. 2013. № 1. С. 80-88.

18. Бегун Н. А. Об устойчивости листовых инвариантных множеств трехмерных периодических систем // Вестник С-Петерб. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. Астрономия. 2014. Вып. 3. С. 12-19.

19. Бегун Н. А. Возмущения слабо гиперболических инвариантных множеств двумерных периодических систем // Вестник С-Петерб. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. Астрономия. 2015. Вып. 1. С. 23-33.

20. Бегун Н. А., Плисс В. А., Селл Дж. Р. Об устойчивости гиперболических аттракторов систем дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения. 2016. Т. 52, № 2. С. 139- 148.

21. Begun N. A., Pliss V. A., Sell G. R. On the stability of weakly hyperbolic invariant sets // Journal of Differential Equations. 2017. Vol. 262, no. 4. P. 3194-3213.

Downloads

Published

2020-08-15

How to Cite

Begun, N. A. (2020). On problems of the theory of stability of weakly hyperbolic invariant sets. Vestnik of Saint Petersburg University. Mathematics. Mechanics. Astronomy, 7(2), 289–296. https://doi.org/10.21638/11701/spbu01.2020.211

Issue

Vol. 7 No. 2 (2020)

Section

In memoriam of V. A. Pliss

License

Articles of "Vestnik of Saint Petersburg University. Mathematics. Mechanics. Astronomy" are open access distributed under the terms of the License Agreement with Saint Petersburg State University, which permits to the authors unrestricted distribution and self-archiving free of charge.