О проблемах теории устойчивости слабо гиперболиеских инвариантных множеств

Никита Андреевич Бегун

doi:10.21638/11701/spbu01.2020.211

Авторы

Никита Андреевич Бегун Санкт-Петербургский государственный университет

DOI:

https://doi.org/10.21638/11701/spbu01.2020.211

Аннотация

Данная статья представляет собой краткий обзор теории устойчивости слабо гиперболических инвариантных множеств. В серии работ, опубликованных автором совместно с В. А. Плиссом и Дж. Р. Селлом, было доказано, что слабо гиперболическое инвариантное множество является устойчивым даже в случае отсутствия условия Липшица. Однако открытым остается вопрос о единственности листов слабо гиперболического инвариантного множества возмущенной системы. Мы показываем связь этой проблемы с так называемой гипотезой экспансивноcти по площадкам (plaque expansivity conjecture) в теории динамических систем.

Ключевые слова:

устойчивость, слабая гиперболичность, листовое множество, возмущенная система, единственность, экспансивность по площадкам

Скачивания

Данные скачивания пока недоступны.

Библиографические ссылки

1. Pliss V. A., Sell G. R. Perturbations of attractors of diﬀerential equations // J. Diﬀerential Equations. 1991. Vol. 92. P. 100-124.

2. Pliss V. A., Sell G. R. Approximation Dynamics and the Stability of Invariant Sets // J. Diﬀerential Equations. 1997. Vol. 149. P. 1-51.

3. Pliss V. A., Sell G. R. Approximations of the long-time dynamics of the Navier - Stokes equations. In: Diﬀerential Equations and Geometric Dynamics: Control Science and Dynamical Systems. Lecture Notes. 1993. Vol. 152. P. 247-277.

4. Плисс В. А. Интегральные множества периодических систем дифференциальных уравнений. М., 1977.

5. Монаков В. Н. Расположение интегральных поверхностей у слабо нелинейных систем дифференциальных уравнений // Вестн. Ленинград. ун-та. 1973. Вып. 1. С. 68-74.

6. Fenichel N. Persistence and smoothness of invariant manifolds for ﬂows // Indiana Univ. Math. J. 1971. Vol. 21. P. 193-226.

7. Kelley Al. Stability of the center-stable manifold // J. Math. Anal. Appl. 1967. Vol. 18. P. 336-344.

8. Kelley Al. The stable, center-stable, center, center-unstable, unstable manifolds // J. Diﬀerential Equations. 1967. Vol. 3. P. 546-570.

9. Плисс В. А. Принцип сведения в теории устойчивости движения // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1964. Вып. 28. С. 1297-1324.

10. Hirsch M. W., Pugh C. C., Shub M. Invariant Manifolds. In: Lecture Notes in Mathematics. Vol. 583. New York: Springer-Verlag, 1977.

11. Sacker R. J. A perturbation theorem for invariant manifolds and Holder continuity // J. Math. Mech. 1969. Vol. 18. P. 705-762.

12. Sell G. R. The structure of a ﬂow in the vicinity of an almost periodic motion // J. Diﬀerential Equations. 1978. Vol. 27. P. 359-393.

13. Smale S. Diﬀerentiable dynamical systems // Bull. Amer. Math. Soc. 1967. Vol. 73. P. 747-817.

14. Temam R. Inﬁnite Dimensional Dynamical Systems in Mechanics and Physics. New York: Springer-Verlag, 1988.

15. Песин Я. Лекции по теории частичной гиперболичности и устойчивой эргодичности. МЦНМО, 2004.

16. Бегун Н. А. Об устойчивости листовых инвариантных множеств двумерных периодических систем // Вестник С-Петерб. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. Астрономия. 2012. Вып. 4. С. 3- 12.

17. Бегун Н. А. О замкнутости листового инвариантного множества возмущенной системы // Дифференциальные уравнения и процессы управления. 2013. № 1. С. 80-88.

18. Бегун Н. А. Об устойчивости листовых инвариантных множеств трехмерных периодических систем // Вестник С-Петерб. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. Астрономия. 2014. Вып. 3. С. 12-19.

19. Бегун Н. А. Возмущения слабо гиперболических инвариантных множеств двумерных периодических систем // Вестник С-Петерб. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. Астрономия. 2015. Вып. 1. С. 23-33.

20. Бегун Н. А., Плисс В. А., Селл Дж. Р. Об устойчивости гиперболических аттракторов систем дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения. 2016. Т. 52, № 2. С. 139- 148.

21. Begun N. A., Pliss V. A., Sell G. R. On the stability of weakly hyperbolic invariant sets // Journal of Diﬀerential Equations. 2017. Vol. 262, no. 4. P. 3194-3213.