One property of bounded complexes of discrete Fp[π]-modules

Abstract

Целью этой заметки является доказательство следующего утверждения: пусть π - проконечная группа и K∗ - ограниченный комплекс дискретных Fp[π]-модулей. Предположим, что Hi(K∗) - конечные абелевы группы. Тогда существует квазиизоморфизм L∗ -→ K∗, где L∗ - ограниченный комплекс дискретных Fp[π]-модулей, такойчто все Li - конечные абелевы группы. Это аналог для дискретных Fp[π]-модулей известной леммы об ограниченных комплексах A-модулей (например, сконцентрированных в неотрицательных степенях), где A - нетерово кольцо, которая утверждает, что любой такой комплекс квазиизоморфен некоторому комплексу конечно порожденных A-модулей, свободных за исключением, возможно, модуля, лежащего в степени 0. Эта лемма играет ключевую роль в доказательстве теоремы о замене базы в когомологиях когерентных пучков на нетеровых схемах, которая, в свою очередь, может быть использована для доказательства теоремы Гротендика о поведении размерностей групп когомологий семейства векторных расслоений над плоским семейством многообразий.