On the stability of the zero solution of an essentially non-linear differential equation of the second order

Abstract

Изучаются малые периодические по времени возмущения существенно нелинейного дифференциального уравнения второго порядка. Предполагается, что восстанавливающая сила содержит как консервативную, так и диссипативную части. При этом все решения дифференциального уравнения - периодические, т. е. невозмущенное уравнение является осциллятором. Особенность рассматриваемой задачи состоит в том, что частота невозмущенных колебаний является бесконечно малой функцией амплитуды. Рассматривается вопрос об устойчивости нулевого решения возмущенного уравнения. Автономные возмущения были изучены еще Ляпуновым. Он показал, что дело сводится к вычислению постоянной, от знака которой зависит асимптотическая устойчивость нулевого решения или его неустойчивость. Подход Ляпунова, основанный на исключении времени из системы, неприменим к неавтономным возмущениям, в частности, к периодическим.С помощью модификации метода Ляпунова получены следующие результаты. Вводятся переменные <действие - угол>. Построено полиномиальное преобразование переменной <действие>, позволяющее вычислить постоянную Ляпунова. В общем случае изучена структура этого преобразования. Оказалось, что <длина> полинома преобразования является периодической функцией показателя консервативной части восстанавливающей силы в невозмущенном уравнении (наименьший период равен 4). Библиогр. 6 назв.