Конические особые точки и векторные поля

Авторы

  • Сергей Николаевич Бурьян Санкт-Петербургский государственный университет, Российская Федерация, 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7–9

DOI:

https://doi.org/10.21638/spbu01.2020.407

Аннотация

В статье рассматривается несколько примеров механизмов, чьи конфигурационные пространства являются гладкими многообразиями с одной особой точкой: две пересекающиеся (или касающиеся) кривые на двумерном торе, четыре кривые с общей точкой на четырехмерном торе, двумерный конус (касп) в R6. Основной задачей в статье является вычисление (ко)касательного пространства над особой точкой с использованием различных теоретических подходов. Вне особых точек движение указанных механизмов описывается в рамках классической механики. Но в окрестности особой точки такие понятия, как касательный и кокасательный векторы требуют концептуально нового определения. В статье используется подход теории дифференциальных пространств. В случае конической особой точки для вычисления (ко)касательного пространства использованы две различные дифференциальные структуры: алгебра функций, локально постоянных вблизи вершины конуса, и алгебра сужений гладких функций с объемлющего пространства на конус. В первом случае касательное и кокасательное пространства в вершине конуса оказываются нулевыми. Во втором — алгебра функций на кокасательном расслоении состоит из функций, локально постоянных на кокасательном слое над особой точкой.

Ключевые слова:

особая точка, многообразия с коническими особенностями, дифференциальные пространства

Скачивания

Данные скачивания пока недоступны.
 

Библиографические ссылки

Литература

1. Виноградов А. М., Красильщик И. С. Что такое гамильтонов формализм? // УМН. 1975. Т. 30. Вып. 1(181). С. 173–198.

2. Неструев Дж. Гладкие многообразия и наблюдаемые. М.: МЦНМО, 2000–2003.

3. Sniatycki J. Orbits of families of vector fields on subcartesian spaces. URL: https://arxiv.org/abs/math/0211212 (дата обращения: 25.10.2020).

4. Kreck M. Differential algebraic topology: from stratifolds to exotic spheres. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, 2010. (Vol. 110 of Graduate Studies in Mathematics.)

5. Watts J. Diffeologies, differential spaces, and symplectic geometry. Ph.D. thesis. 2012.

6. Бурьян C. Н. Особенности движения маятника с сингулярным конфигурационным пространством // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Математика. Механика. Астрономия. 2017. T. 4 (62). Вып. 4. C. 541–551.

7. Burian S. N., Kalnitsky V. S. On the Motion of One-Dimensional Double Pendulum // AIP Conference Proceedings. 2018. Vol. 1959. Art. no. 030004.

8. Бурьян C. Н. Дифференциальные структуры Фр¨елихера на касающихся кривых // Записки ПОМИ. 2018. № 476. С. 34–49

References

1. Vinogradov A. M., Krasilshchik I. S., “What is Hamiltonian formalism?”, Russian mathematical surveys 30, iss. 1(181), 173–198 (1975). (In Russian)

2. Nestruev J., Smooth manifolds and observables (Springer Science, Business Media, 2006).

3. Sniatycki J., “Orbits of families of vector fields on subcartesian spaces”. Available at: https://arxiv.org/abs/math/0211212 (accessed: October 25, 2020).

4. Kreck M., Differential algebraic topology: from stratifolds to exotic spheres (American Mathematical Society, Providence, Rhode Island, 2010, vol. 110 of Graduate Studies in Mathematics).

5. Watts J., Diffeologies, differential spaces, and symplectic geometry (Ph.D. thesis, 2012).

6. Burian S. N., “Behaviour of the pendulum with a singular configuration space”, Vestnik of Saint Petersburg University. Mathematics. Mechanics. Astronomy 4(62), iss. 4, 541–551 (2017). (In Russian)

7. Burian S. N., Kalnitsky V. S., “On the Motion of One-Dimensional Double Pendulum”, AIP Conference Proceedings 1959, 030004 (2018).

8. Burian S. N., “Differential structures of Fr¨ olicher spaces on tangent curves”, Zapiski POMI (476), 34–49 (2018). (In Russian)

Загрузки

Опубликован

27.12.2020

Как цитировать

Бурьян, С. Н. (2020). Конические особые точки и векторные поля. Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия, 7(4), 649–661. https://doi.org/10.21638/spbu01.2020.407

Выпуск

Том 7 № 4 (2020)

Раздел

Математика

Лицензия

Статьи журнала «Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия» находятся в открытом доступе и распространяются в соответствии с условиями Лицензионного Договора с Санкт-Петербургским государственным университетом, который бесплатно предоставляет авторам неограниченное распространение и самостоятельное архивирование.