О погрешностях стохастического решения уравнений больцмановского типа: точные верхние оценки

Аннотация

Нелинейные уравнения больцмановского типа, описывающие развитие во времени систем большого количества «частиц» с парным взаимодействием, являются модельными уравнениямивомногихотрасляхестествознания-динамикеразреженныхгазов,теориикоагулирующих частиц, квантовой физике и т.д. При этом часто единственным методом решения таких уравнений является метод Монте-Карло, в той или иной степени имитирующий соответствующий физический процесс. В то же время вопрос о погрешностях этого метода в данной специфической ситуации не может считаться полностью решенным. Внастоящей работе рассматриваются однородные уравнения больцмановского типа с постоянным сечением рассеяния и один из способов их стохастического решения с помощью так называемых (n,1)-частичных случайных процессов. Погрешности решения рассматриваются в смысле расстояния повариации между соответствующими распределениями. Основным результатом статьи является специального вида оценка погрешности, являющаяся точной вовсем классе рассматриваемых уравнений больцмановского типа. Другими словами, получена такая оценка сверху погрешности, которая верна для всех рассматриваемых уравнений и является точной по крайней мере для одного из них.

Ключевые слова:

оптимальный контур, уравнение Беллма, контур с минимальными средними затратами, тропическая математика