Многолистные вероятностные пространства

Аннотация

Мы даем абстрактную версию некоторых систем множеств, сходных с λ-системами, обсуждавшимися Дынкиным и другими в качестве полезного вспомогательного средства. Наша абстрактная версия имеет «булеву» природу. Это означает, в частности, что элементы соответствующей абстрактной алгебры не имеют внутренней теоретико-множественной природы. Формулируется естественная система аксиом. Эта система описывает свойства двух бинарных отношений (включение и дизъюнктность) и свойства двух частичных бинарных операций (сложение и вычитание), тесно связанных с этими бинарными отношениями. В частности, сложение и вычитание являются в некотором точно формулируемом смысле взаимно обратными. Мы устанавливаем простые свойства этих абстрактных алгебр Дынкина и изучаем расширения таких алгебр посредством некоторых предельных переходов (мы называем эти расширения свободными). Свободное расширение абстрактной алгебры Дынкина замкнуто относительно пределов монотонных последовательностей её элементов. Мы доказываем, что каждая (аддитивная) вероятность на абстрактной алгебре Дынкина имеет единственное непрерывное (= счетно-аддитивное) продолжение на соответствующее свободное расширение. Этот результат, не согласующийся с обычным различием между аддитивностью и счетной аддитивностью, может быть объяснен свойством свободности рассматриваемого расширения. Библиогр. 7 назв.

Ключевые слова:

алгебра Дынкина, свободное расширение, непрерывное продолжение вероятности