Метод моментов в задаче обращения преобразования Лапласа и его регуляризация
DOI:
https://doi.org/10.21638/spbu01.2022.105Аннотация
Рассматриваются интегральные уравнения первого рода, относящиеся к классу некорректных задач. Сюда же относится задача обращения интегрального преобразования Лапласа, применяемого для решения широкого класса математических задач. Интегральные уравнения сводятся к плохо обусловленным системам линейных алгебраических уравнений, неизвестными в которых являются коэффициенты разложения в ряд по смещенным многочленам Лежандра некоторой функции, просто выражающейся через искомый оригинал. Эта функция находится как решение некоторой конечной проблемы моментов в гильбертовом пространстве. Для получения надежного решения системы используют методы регуляризации. Общей стратегией является использование стабилизатора Тихонова или его модификаций. Указан конкретный вид стабилизатора в методе регуляризации, ориентированный на априорно невысокую степень гладкости искомого оригинала. Приведены результаты численных экспериментов, подтверждающие эффективность предлагаемого алгоритма обращения.Ключевые слова:
система линейных алгебраических уравнений, интегральные уравнения первого рода, некорректные задачи, плохо обусловленные задачи, число обусловленности, метод регуляризации
Скачивания
Данные скачивания пока недоступны.
Библиографические ссылки
Литература
1. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. Москва, Лань (2002).
2. Крылов В.И., Скобля Н.С. Методы приближенного преобразования Фурье и обращения преобразования Лапласа. Москва, Наука (1974).
3. Cohen A.M. Numerical methods for Laplace transform inversion. New York, Springer (2007).
4. Рябов В.М. Численное обращение преобразования Лапласа. Санкт-Петербург, Изд-во С.- Петерб. ун-та (2013).
5. Суетин П.К. Классические ортогональные многочлены. Москва, Наука (1976).
6. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. Москва, Наука (1979).
7. Gautschi W. On the condition of a matrix arising in the numerical inversion of the Laplace transform. Mathematics of computation 23 (105), 109–118 (1969).
8. Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и ее прило- жения. Москва, Наука (1978).
9. Кабанихин С.И. Обратные и некорректные задачи. Новосибирск, Сибирское научное изд- во (2009).
10. Даугавет И.К. Теория приближенных методов. Линейные уравнения. Санкт-Петербург, БХВ-Петербург (2006).
11. Лебедева А.В., Рябов В.М. О численном решении систем линейных алгебра- ических уравнений с плохо обусловленными матрицами. Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия 6 (64), вып. 4, 619–626 (2019). https://doi.org/10.21638/11701/spbu01.2019.407
12. Лебедева А.В., Рябов В.М. О регуляризации решения интегральных уравне- ний первого рода с помощью квадратурных формул. Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия 8 (66), вып. 4, 593–599 (2021). https://doi.org/10.21638/spbu01.2021.404
13. Papoulis A. A new method of inversion of the Laplace transform. Quarterly of applied mathematics 14 (4), 405–414 (1967).
14. Brianzi P., Frontini M. On the regularized inversion of Laplace transform. Inverse problems 7, 355–368 (1991).
15. Крейн М. Г., Нудельман А.А. Проблема моментов Маркова и экстремальные задачи. Москва, Наука (1973).
References
1. Lavrent’ev M.A., Shabat B.V. Methods of the theory of functions of a complex variable. Moscow, Lan’ Publ. (2002). (In Russian)
2. Krylov V. I., Skoblya N. S. Methods of the approximate Fourier transform and the inversion of the Laplace transform. Moscow, Nauka Publ. (1974). (In Russian)
3. Cohen A.M. Numerical methods for Laplace transform inversion. New York, Springer (2007).
4. Ryabov V.M. Numerical inversion of the Laplace transform. St Petersburg, StPetersburg Univ. Press (2013). (In Russian)
5. Suetin P.K. Classical orthogonal polynomials. Moscow, Nauka Publ. (1976). (In Russian)
6. Tikhonov A.N., Arsenin V.Ya. Metody resheniia nekorrektnykh zadach. Moscow, Nauka Publ. (1979). (In Russian) [Eng. transl.: Tikhonov A.N., Arsenin V.Ya. Solutions of Ill-Posed Problems. Winston (1977)].
7. Gautschi W. On the condition of a matrix arising in the numerical inversion of the Laplace transform. Mathematics of computation 23 (105), 109–118 (1969).
8. Ivanov V.K., Vasin V.V., Tanana V.P. Theory of linear ill-posed problems and its applications. Moscow, Nauka Publ. (1978). (In Russian)
9. Kabanikhin S. I. Inverse and ill-posed problems. Novosibirsk, Sibirskoe nauchnoe izdatel’stvo Publ. (2009). (In Russian)
10. Daugavet I.K. The theory of approximate methods. Linear equations. St Petersburg, BHVPetersburg Publ. (2006). (In Russian)
11. Lebedeva A.V., Ryabov V.M. Numerical solution of systems of linear algebraic equations with ill-conditioned matrices. Vestnik of Saint Petersburg University. Mathematics. Mechanics. Astronomy 6 (64), iss. 4, 619–626 (2019). https://doi.org/10.21638/11701/spbu01.2019.407 (In Russian) [Eng. transl.: Vestnik St Petersburg University, Mathematics 52 (4), 388–393 (2019). https://doi.org/10.1134/S1063454119040058].
12. Lebedeva A.V., Ryabov V.M. On the regularization of the solution of integral equations of the first kind using quadrature formulas. Vestnik of Saint Petersburg University. Mathematics. Mechanics. Astronomy 8 (66), iss. 4, 593–599 (2021). https://doi.org/10.21638/spbu01.2021.404 (In Russian) [Eng. transl.: Vestnik St Petersburg University, Mathematics 54 (4), 361–365 (2021). https://doi.org/10.1134/S1063454121040129].
13. Papoulis A. A new method of inversion of the Laplace transform. Quarterly of applied mathematics 14 (4), 405–414 (1967).
14. Brianzi P., Frontini M. On the regularized inversion of Laplace transform. Inverse problems 7, 355–368 (1991).
15. Krein M.G., Nudel’man A.A. Problema momentov Markova i ekstremal’nye zadachi. Moscow, Nauka Publ. (1973). (In Russian) [Eng. transl.: Krein M.G., Nudel’man A.A. The Markov moment problem and extremal problems. In Ser.: Translations of Mathematical Monographs, vol. 50. AMS (1977)].
Загрузки
Опубликован
10.04.2022
Как цитировать
Лебедева, А. В., & Рябов, В. М. (2022). Метод моментов в задаче обращения преобразования Лапласа и его регуляризация. Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия, 9(1), 46–52. https://doi.org/10.21638/spbu01.2022.105
Выпуск
Раздел
Математика
Лицензия
Статьи журнала «Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия» находятся в открытом доступе и распространяются в соответствии с условиями Лицензионного Договора с Санкт-Петербургским государственным университетом, который бесплатно предоставляет авторам неограниченное распространение и самостоятельное архивирование.
