О регуляризации решения интегральных уравнений первого рода с помощьюквадратурных формул
DOI:
https://doi.org/10.21638/spbu01.2021.404Аннотация
Рассматриваются плохо обусловленные системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) и интегральные уравнения первого рода, относящиеся к классу некорректных задач. Сюда же относится задача обращения интегрального преобразования Лапласа, применяемого для решения широкого класса математических задач. Интегральные уравнения сводятся к СЛАУ со специальными матрицами. Для получения надежного решения используют методы регуляризации. Общей стратегией является использование стабилизатора Тихонова или его модификаций, либо представление искомого решения в виде ортогональной суммы двух векторов, один из которых определяется устойчиво, а для поиска второго необходима некая процедура стабилизации. В настоящей статье рассматриваются методы численного решения СЛАУ с положительно определенной симметричной матрицей или с матрицей осцилляционного типа с использованием регуляризации, приводящие к СЛАУ с уменьшенным числом обусловленности. Указан метод сведения задачи обращения интегрального преобразования Лапласа к СЛАУ с обобщенными матрицами Вандермонда осцилляционного типа, регуляризация которых снижает плохую обусловленность системы.Ключевые слова:
система линейных алгебраических уравнений, интегральные уравнения первого рода, некорректные задачи, плохо обусловленные задачи, число обусловленности, метод регуляризации
Скачивания
Данные скачивания пока недоступны.
Библиографические ссылки
Литература
1. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. Москва, Наука (1979).
2. Лисковец О.А. Вариационные методы решения неустойчивых задач. Минск, Наука и техника (1981).
3. Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. Москва, Наука (1978).
4. Кабанихин С.И. Обратные и некорректные задачи. Новосибирск, Сибирское науч. изд-во (2009).
5. Даугавет И.К. Теория приближенных методов. Линейные уравнения. Санкт-Петербург, БХВ-Петербург (2006).
6. Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления. Москва, Наука (1984).
7. Лебедева А.В., Рябов В.М. О численном решении систем линейных алгебраических уравненийс плохо обусловленными матрицами. Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия 6 (64), вып. 4, 619–626 (2019). https://doi.org/10.21638/11701/spbu01.2019.407
8. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. Москва, Наука (1967).
9. Cohen A.M. Numerical methods for Laplace transform inversion. New York, Springer (2007).
10. Рябов В.М. Численное обращение преобразования Лапласа. Санкт-Петербург, Изд-во С.-Петерб. ун-та (2013).
11. Крейн М.Г., Нудельман А.А. Проблема моментов Маркова и экстремальные задачи, пер. с англ. Москва, Наука (1973).
12. Brianzi P., Frontini M. On the regularized inversion of Laplace transform. Inverse problems 7, 355–368 (1991).
References
1. Tikhonov A.N., Arsenin V.Ya. Metody resheniia nekorrektnykh zadach. Moscow, Nauka Publ. (1979). (In Russian) [Engl. transl.: Tikhonov A. N., Arsenin V. Ya. Solutions of Ill-Posed Problems. Winston (1977)].
2. Liskovets O.A. Variational methods for solving unstable problems. Minsk, Science and Technology Publ. (1981). (In Russian)
3. Ivanov V.K., Vasin V.V., Tanana V.P. Theory of linear ill-posed problems and its applications. Moscow, Nauka Publ. (1978). (In Russian)
4. Kabanikhin S.I. Inverse and incorrect tasks. Novosibirsk, Sibirskoe nauchnoe izdatelstvo Publ. (2009). (In Russian)
5. Daugavet I.K. The theory of approximate methods. Linear equations. St. Petersburg, BHVPetersburg Publ. (2006). (In Russian)
6. Voevodin V.V., Kuznetsov Yu.A. Matrices and computations. Moscow, Nauka Publ. (1984). (In Russian)
7. Lebedeva A.V., Ryabov V.M. Numerical Solution of Systems of Linear Algebraic Equations with Ill-Conditioned Matrices. Vestnik of Saint Petersburg University. Mathematics. Mechanics. Astronomy 6 (64), iss. 4, 619–626 (2019). https://doi.org/10.21638/11701/spbu01.2019.407 (In Russian) [Engl. transl.: Vestnik St. Petersb. Univ. Math. 52, iss. 4, 388–393 (2019). https://doi.org/10.1134/S1063454119040058].
8. Gantmakher F.R. Teoriia matrits. Moscow, Nauka Publ. (1967). (In Russian) [Engl. transl.: Gantmakher F. R. The Theory of Matrices. New York, Chelsea Publ. Co. (1989)].
9. Cohen A.M. Numerical methods for Laplace transform inversion. New York, Springer (2007).
10. Ryabov V.M. Numerical inversion of the Laplace transform. St. Petersburg, St. Petersburg Univ. Press (2013). (In Russian)
11. Krein M.G., Nudelman A.A. The Markov moment problem and extremal problems. In Ser.: Translations of Mathematical Monographs, vol. 50. AMS (1977). [Russ. ed.: Krein M. G., Nudelman A. A. Problema momentov Markova i ekstremal’nye zadachi. Moscow, Nauka Publ. (1976)].
12. Brianzi P., Frontini M. On the regularized inversion of Laplace transform. Inverse problems 7, 355–368 (1991).
Загрузки
Опубликован
04.01.2022
Как цитировать
Лебедева, А. В., & Рябов, В. М. (2022). О регуляризации решения интегральных уравнений первого рода с помощьюквадратурных формул. Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия, 8(4), 593–599. https://doi.org/10.21638/spbu01.2021.404
Выпуск
Раздел
Математика
Лицензия
Статьи журнала «Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия» находятся в открытом доступе и распространяются в соответствии с условиями Лицензионного Договора с Санкт-Петербургским государственным университетом, который бесплатно предоставляет авторам неограниченное распространение и самостоятельное архивирование.
