О численном решении систем линейных алгебраических уравнений с плохо обусловленными матрицами

  • Анастасия Владимировна Лебедева Санкт-Петербургский государственный университет, Российская Федерация, 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7–9
  • Виктор Михайлович Рябов Санкт-Петербургский государственный университет, Российская Федерация, 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7–9

Аннотация

Рассматриваются системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Если матрица системы невырождена, то существует единственное решение системы. В вырожденном случае система может не иметь решения или иметь бесконечно много решений. В этом случае вводится понятие нормального решения. Случай невырожденной квадратной матрицы теоретически можно считать хорошим в смысле существования и единственности решения. Однако в теории вычислительных методов невырожденные матрицы подразделяют на две категории: «плохо обусловленные» и «хорошо обусловленные». Плохо обусловленными называют матрицы, для которых решение системы уравнений практически является неустойчивым. Одной из важных характеристик практической устойчивости решения системы линейных уравнений является число обусловленности. Обычно для получения надежного решения используют методы регуляризации. Общей стратегией является использование стабилизатора Тихонова или его модификаций, либо представление искомого решения в виде ортогональной суммы двух векторов, один из которых определяется устойчиво, а для поиска второго необходима некая процедура стабилизации. В настоящей статье рассматриваются методы численного решения СЛАУ с положительно определенной симметричной матрицей или с матрицей осцилляционного типа с использованием регуляризации, приводящие к СЛАУ с уменьшенным числом обусловленности.

Ключевые слова:

система линейных алгебраических уравнений, некорректные задачи, плохо обусловленные задачи, число обусловленности, метод регуляризации

Скачивания

Данные скачивания пока недоступны.
 

Литература

Литература

Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979.

Лисковец О.А. Вариационные методы решения неустойчивых задач. Минск: Наука и техника, 1981.

Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. М.: Наука, 1978.

Кабанихин С.И. Обратные и некорректные задачи. Новосибирск: Сибирское научное издательство, 2009.

Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления. М.: Наука, 1984.

Михлин С. Г. Вариационные методы в математической физике. М.: Наука, 1970.

Михлин С.Г. Численная реализация вариационных методов. М.: Наука, 1966.

Гантмахер Ф.Р., Крейн М.Г. Осцилляционные матрицы и ядра и малые колебания механических систем. М.; Л.: ГИТТЛ, 1950.

Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1967.

Higham N.J. Functions of matrices: Theory and computation. Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics, 2008. https://doi.org/10.1137/1.9780898717778

Gautschi W. The Condition of a Matrix Arising in the Numerical Inversion of the Laplace Transform // Mathematics of Computation. 1969. Vol. 23, No. 105. P. 109–118. https://doi.org/10.1090/S0025-5718-1969-0239729-8

Бурова И.Г., Рябов В.М., Кальницкая М.А., Малевич А.В., Демьянович Ю.К. Программа для решения системы линейных алгебраических уравнений с положительно определенной матрицей методом регуляризации. Патент № 2018661356, 6.09.2018.


References

Tikhonov A.N., Arsenin V.Ya., Solutions of Ill-Posed Problems (Winston, 1977)

Liskovets O.A., Variational methods for solving unstable problems (Nauka i Tehnika Publ., Minsk, 1981). (In Russian)

Ivanov V.K., Vasin V.V., Tanana V.P., Theory of linear ill-posed problems and its applications (Nauka Publ., Moscow, 1978). (In Russian)

Kabanikhin S.I., Obratnye i nekorrektnye zadachi (Sibirskoe nauchnoe izdatelstvo, Novosibirsk, 2009). (In Russian)

Voevodin V.V., Kuznetsov Yu.A., Matrices and computations (Nauka Publ., Moscow, 1984). (In Russian)

Mikhlin S.G., Variational methods in mathematical physics (Pergamon Press, 1982).

Mikhlin S.G., The numerical performance of variational methods (Wolters-Noordhoff Publishing, Groningen, 1971).

Gantmakher F.R., Krein M.G., Oscillation matrices and kernels and small vibrations of mechanical systems (AMS Chelsea Publ., Providence, R. I., 2002). https://doi.org/10.1090/chel/345

Gantmakher F.R., The Theory of Matrices (Chelsea Publishing Company, 1989).

Higham N.J., Functions of matrices: Theory and computation (Society for Industrial and Applied Mathematics, Philadelphia, 2008). https://doi.org/10.1137/1.9780898717778

Gautschi W., “The Condition of a Matrix Arising in the Numerical Inversion of the Laplace Transform”, Mathematics of Computation 23(105), 109–118 (1969). https://doi.org/10.1090/S0025-5718-1969-0239729-8

Burova I.G., Ryabov V.M., Kalnitskaya M.A., Malevich A.V., Demjanovich Yu.K., Program for solving a system of linear algebraic equations with a positively defined matrix by the regularization method (Patent No. 2018661356, September 6, 2018). (In Russian)

Опубликован
2019-11-28
Как цитировать
Лебедева, А. В., & Рябов, В. М. (2019). О численном решении систем линейных алгебраических уравнений с плохо обусловленными матрицами. Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия, 6(4), 619–626. https://doi.org/10.21638/11701/spbu01.2019.407
Раздел
Математика

Наиболее читаемые статьи этого автора (авторов)