Review of the research on the qualitative theory of differential equations at St. Petersburg University. I. Stable periodic points of diffeomorphisms with homoclinic points, systems with weakly hyperbolic invariant sets
DOI:
https://doi.org/10.21638/spbu01.2024.201Abstract
This paper is the first in a series of review publications devoted to the results of scientific research work that has been carried out at the Department of Differential Equations of St. Petersburg University over the past 30 years. Current scientific interests of the department staff can be divided into the following directions and topics: study of stable periodic points of diffeomorphisms with homoclinic points, study of systems with weakly hyperbolic invariant sets, local qualitative theory of essentially nonlinear systems, classification of phase portraits of a family of cubic systems, stability conditions for systems with hysteretic nonlinearities and systems with nonlinearities under the generalized Routh-Hurwitz conditions (Aizerman problem). This paper presents recent results on the first two topics outlined above. The study of stable periodic points of diffeomorphisms with homoclinic points was carried out under the assumption that the stable and unstable manifolds of the hyperbolic points are tangent at a homoclinic (heteroclinic) point, and the homoclinic (heteroclinic) point is not a point with a finite order of tangency. The research of systems with weakly hyperbolic invariant sets was conducted for the case when neutral, stable, and unstable linear spaces do not satisfy the Lipschitz condition.Keywords:
qualitative theory of differential equations, non-transversal homoclinic point and trajectory, heteroclinic contour, stability, hyperbolicity, attractor, weakly hyperboliс, invariant set
Downloads
Download data is not yet available.
References
Литература
1. Обыкновенные дифференциальные уравнения. В: Математика в Петербургском - Ленинградском университете, 134-172. Смирнов В. И. (ред.). Ленинград, Изд-во Ленингр. ун-та (1970).
2. Смирнов В. И., Соболев С. Л. Биографический очерк. В: Н. М. Гюнтер. Теория потенциала и ее применение к основным задачам математическойфизики. Москва, ГИТТЛ (1953).
3. Пилюгин С.Ю. Исследования по глобальной качественной теории дифференциальных уравненийна кафедре дифференциальных уравнений Петербургского университета. В: Нелинейные динамические системы 2, 5-35, Санкт-Петербург, Изд-во С.-Петерб. ун-та (1999).
4. Андреев А. Ф., Бибиков Ю. Н. Исследования по локальной качественной теории дифференциальных уравненийна кафедре дифференциальных уравнений Петербургского университета. В: Нелинейные динамические системы 2, 36-70. Санкт-Петербург, Изд-во С.-Петерб. ун-та (1999).
5. Бибиков Ю. Н., Васильева Е. В. Периодические возмущения осцилляторов на плоскости. Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия 11 (69), вып. 1 (2024).
6. Плисс В. А. Об однойгипотезе Смейла. Дифференц. уравнения 8 (2), 268-282 (1972).
7. Плисс В. А. Система дифференциальных уравнений, имеющая бесконечное число периодических решений. Дифференц. уравнения 10 (12), 2179-2183 (1974).
8. Плисс В. А. Интегральные множества периодических систем дифференциальных уравнений. Москва, Наука (1977).
9. Иванов Б. Ф. Устойчивость траекторий, не покидающих окрестность гомоклинической кривой Дифференц. уравнения 15 (8), 1411-1419 (1979).
10. Чернышев В. Е. Структура инвариантного множества диффеоморфизма при наличии гомоклиническойточки. Вестник Ленинградского университета. Сер. 1. Математика. Механика. Астрономия 1, 70-76 (1972).
11. Чернышев В. Е. Структура окрестности гомоклинического контура с седловой точкой покоя. Дифференц. уравнения 21 (9), 1531-1536 (1985).
12. Чернышев В. Е. Бифуркации инвариантных множеств в окрестности контура с седловой точкой покоя. Дифференц. уравнения 22 (3), 439-445 (1986).
13. Чернышев В. Е. Сильно устойчивые расслоения над гомоклиническими контурами. Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия 4 (22), 44-52 (1994).
14. Чернышев В. Е. Сильно устойчивые слоения над контурами лоренцева типа. Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия 3 (15), 46-53 (1996).
15. Чернышев В. Е. Возмущение гетероклинических циклов лоренцева типа. В: Нелинейные динамические системы 1, 285-297. Санкт-Петербург, Изд-во С.-Петерб. ун-та (1997).
16. Чернышев В. Е. Возмущение гетероклинических циклов, содержащих седло-фокусы. Дифференц. уравнения 33 (5), 712-713 (1997).
17. Newhouse Sh. Diffeomorphisms with infinitely many sinks. Topology 12, 9-18 (1973).
18. Гонченко С. В., Шильников Л. П. О динамических системах с негрубыми гомоклиническими кривыми. Доклады АН СССР 286 (5), 1049-1053 (1986).
19. Гонченко С. В., Тураев Д. В., Шильников Л. П. Динамические явления в многомерных системах с негрубой гомоклинической кривой Пуанкаре. Доклады Академии наук 330 (2), 144-147 (1993).
20. Стенькин О. В., Шильников Л. П. О бифуркациях периодических движенийвблизи негрубой гомоклинической кривой. Дифференц. уравнения 33 (3), 377-384 (1997).
21. Васильева Е. В. Устойчивые периодические точки двумерных диффеоморфизмов класса С1. Вестник Санкт-Петербургского университета. Сер. 1. Математика. Механика. Астрономия 2, 20-26 (2007).
22. Васильева Е. В. Диффеоморфизмы плоскости с устойчивыми периодическими точками. Дифференц. уравнения 48 (3), 307-315 (2012).
23. Васильева Е. В. Гладкие диффеоморфизмы плоскости с устойчивыми периодическими точками, лежащими в окрестности гомоклиническойточки. Дифференц. уравнения 48 (10), 1355-1360 (2012).
24. Васильева Е. В. Устойчивые периодические точки бесконечно гладких диффеоморфизмов. Доклады Академии наук 448 (1), 9-10 (2013). https://doi.org/10.7868/S086956521301009X
25. Васильева Е. В. Диффеоморфизмы многомерного пространства с бесконечным множеством устойчивых периодических точек. Вестник Санкт-Петербургского университета. Сер. 1. Математика. Механика. Астрономия 3, 3-13 (2012).
26. Васильева Е. В. Многомерные диффеоморфизмы с устойчивыми периодическими точками. Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия 6 (64), вып. 4, 608-618 (2019). https://doi.org/10.21638/11701/spbu01.2019.406
27. Васильева Е. В. Устойчивые и вполне неустойчивые периодические точки диффеоморфизма плоскости с гетероклиническим контуром. Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия 7 (65), вып. 3, 392-403 (2020). https://doi.org/10.21638/spbu01.2020.303
28. Васильева Е. В. Многообходные устойчивые периодические точки диффеоморфизма плоскости с гомоклиническойорбитой. Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия 8 (66), вып. 3, 406-416 (2021). https://doi.org/10.21638/spbu01.2021.303
29. Vasil’eva E. V. One-Parameter Set of Diffeormorphisms of the Plane with Stable Periodic Points. Lobachevskii Journal of Mathematics 42, iss. 14, 3543-3549 (2021). https://doi.org/10.1134/S1995080222020172
30. Васильева Е. В. Устойчивые периодические решения периодических систем дифференциальных уравнений. Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия 5 (63), вып. 1, 14-21 (2018). https://doi.org/10.21638/11701/spbu01.2018.102
31. Васильева Е. В. Устойчивость периодических решений периодических систем дифференциальных уравненийс гетероклиническим контуром. Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия 7 (65), вып. 2, 297-308 (2020). https://doi.org/10.21638/11701/spbu01.2020.212
32. Pliss V. A., Sell G. R. Perturbations of attractors of differential equations. J. Differential Equations 92, 100-124 (1991). https://doi.org/10.1016/0022-0396(91)90066-I
33. Pliss V. A., Sell G. R. Approximations of the long-time dynamics of the Navier-Stokes equations. J. Differential Equations and Geometric Dynamics: Control Science and Dynamical Systems. Lecture Notes 152, 247-277 (1993).
34. Pliss V. A., Sell G. R. Approximation Dynamics and the Stability of Invariant Sets. J. Differential Equations 149, 1-51 (1997). https://doi.org/10.1006/jdeq.1997.3400
35. Бегун Н. А. Об устойчивости листовых инвариантных множеств двумерных периодических систем. Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия 4, 3-12 (2012).
36. Бегун Н. А. О замкнутости листового инвариантного множества возмущеннойсистемы. Дифференциальные уравнения и процессы управления 1, 80-88 (2013).
37. Бегун Н. А. Об устойчивости листовых инвариантных множеств трехмерных периодических систем. Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия 1 (59), вып. 3, 360-367 (2014).
38. Бегун Н. А. Возмущения слабо гиперболических инвариантных множеств двумерных периодических систем. Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия 2 (60), вып. 1, 23-33 (2015).
39. Бегун Н. А., Плисс В. А., Селл Дж. Р. Об устойчивости гиперболических аттракторов систем дифференциальных уравнений. Дифференциальные уравнения 52 (2), 139-148 (2016). https://doi.org/10.1134/S0012266116020014
40. Begun N. A., Pliss V. A., Sell G. R. On the stability of weakly hyperbolic invariant sets. Journal of Differential Equations 262 (4), 3194-3213 (2017). https://doi.org/10.1016/j.jde.2016.11.023
41. Монаков В. Н. Расположение интегральных поверхностейу слабо нелинейных систем дифференциальных уравнений. Вестник Ленинградского университета 1, 68-74 (1973).
42. Бегун Н. А. О проблемах теории устойчивости слабо гиперболических инвариантных множеств. Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия 7 (65), вып. 2, 289-296 (2020). https://doi.org/10.21638/11701/spbu01.2020.211
43. Hirsch M.W., Pugh C. C., M. Shub M. Invariant Manifolds. In: Lecture Notes in Mathematics, vol. 583. New York, Springer-Verlag (1977).
References
1. Ordinary differential equations. In: Smirnov V. I. (ed.). Mathematics at St. Petersburg-Leningrad University, 134-172 (1970). (In Russian)
2. Smirnov V. I., Sobolev S. L. Biographical essay. In: Gunter N. M. Potential theory and its application to the main problems of mathematical physics. Moscow, GITTL Publ. (1953). (In Russian)
3. Pilyugin S. Yu. Investigations in the global qualitative theory of differential equations at the chair of differential equations of Petersburg university. In: Nonlinear dynamic systems 2, 59-92. St. Petersburg, St. Рetersburg University Press (1999). (In Russian)
4. Andreev A. F., Bibikov Y. N. Investigations in the local qualitative theory of differential equations at the chair of differential equations of Petersburg university. In: Nonlinear dynamic systems 2, 36-70. St. Petersburg, St. Рetersburg University Press (1999). (In Russian)
5. Bibikov Y. N., Vasil’eva E. V. Periodic perturbations of oscillators on the plane. Vestnik St. Petersburg University. Mathematics. Mechanics. Astronomy 11 (69), iss. 1 (2024).
6. Pliss V. A. On a conjecture of Smale. Differential Equations 8 (2), 268-282 (1972). (In Russian)
7. Pliss V. A. A system of differential equations that has an infinite number of stable periodic solutions. Differential Equations 10 (12), 2179-2183 (1974). (In Russian)
8. Pliss V. A. Integral sets of periodic systems of differential equations. Moscow: Nauka Publ. (1977)
9. Ivanov B. F. Stability of trajectories that do not leave a neighborhood of a homoclinic curve. Differential Equations 15 (8), 1411-1419 (1979). (In Russian)
10. Chernyshev V. E. Structure of an invariant set of diffeomorphism in the presence of a homoclinic point. Vestnik Leningrad University. Mathematics. Mechanics. Astronomy 1, 70-76 (1972). (In Russian)
11. Chernyshev V. E. Structure of the neighborhood of a homoclinic contour with a saddle point of rest. Differential Equations 21 (9), 1531-1536 (1985). (In Russian)
12. Chernyshev V. E. Bifurcations of invariant sets in a neighborhood of a contour of trajectories with a rest point which is a saddle. Differential Equations 22 (3), 439-445 (1986). (In Russian)
13. Chernyshev V. E. Strong stable bundles for homoclinic cycles. Vestnik St. Petersburg University. Mathematics. Mechanics. Astronomy 1 (22), iss. 4, 44-52 (1994). (In Russian)
14. Tchernyshev V. E. Strong stable foliations fo rcycles Lorentz type. Vestnik St. Petersburg University. Mathematics. Mechanics. Astronomy 1 (15), iss. 3, 46-53 (1996). (In Russian)
15. Chernyshev V. E. Perturbations of heteroclinic cycles of Lorentz type. In: Nonlinear dynamic systems 1, vol. 1, 285-287. St. Petersburg, St. Рetersburg University Press (1997). (In Russian)
16. Chernyshev V. E. Perturbation of heteroclinic cycles that contain saddle-foci. Differential Equations 33 (5), 712-713 (1997). (In Russian) [Eng. transl.: Differential Equations 33 (5), 717-719 (1997)].
17. Newhouse Sh. Diffeomorphisms with infinitely many sinks. Topology 12, 9-18 (1973).
18. Gonchenko S. V., Shilnikov L. P. Dynamical systems with structurally unstable homoclinic curves. Doklady AN SSSR 286 (5), 1049-1053 (1986). (In Russian)
19. Gonchenko S. V., Turaev D. V., Shilnikov L. P. Dynamical phenomena in multidimensional systems with a structurally unstable homoclinic Poincare curve Doklady Akademii nauk 330 (2), 144-147 (1993). (In Russian) [Eng. transl.: Dokl. Math. 47 (3), 410-415 (1993)].
20. Sten’kin O. V., Shilnikov L. P. On bifurcations of periodic motions near a structurally unstable homoclinic curve. Differential Equations 33 (3), 377-384 (1997). (In Russian) [Eng. transl.: Differential Equations 33 (3), 375-383 (1997)].
21. Vasil’eva E. V. Stable periodic points of two-dimensional С1-diffeomorphisms. Vestnik of Saint Petersburg University. Mathematics. Mechanics. Astronomy 2, 20-26 (2007). (In Russian) [Eng. transl.: Vestnik St. Petersburg University. Mathematics. 40, iss. 2, 107-113 (2007). https://doi.org/10.3103/S1063454107020045].
22. Vasil’eva E. V. Diffeomorphisms of the plane with stable periodic points. Differential Equations 48 (3), 307-315 (2012). (In Russian) [Eng. transl.: Differential Equations 48 (3), 309-317 (2012). https://doi.org/10.1134/S0012266112030019].
23. Vasil’eva E. V. Smooth diffeomorphisms of the plane with stable periodic points in a neighborhood of a homoclinic point. Differential Equations 48 (10), 1355-1360 (2012). (In Russian) [Eng. transl.: Differential Equations 48 (10), 1335-1340 (2012). https://doi.org/10.1134/S0012266112100023].
24. Vasil’eva E. V. Stable Periodic points of infinitely smooth diffeomorphisms. Doklady Akademii nauk 448 (1), 9-10 (2013). https://doi.org/10.7868/S086956521301009X (In Russian) [Eng. transl.: Dokl. Math. 87 (1), 3-4 (2013) https://doi.org/10.1134/S1064562413010079].
25. Vasil’eva E. V. Diffeomorphisms of multidimensional space with infinite set of stable periodic points. Vestnik of Saint Petersburg University. Mathematics. Mechanics. Astronomy 3, 3-13 (2012). (In Russian) [Eng. transl.: Vestnik St. Petersburg University. Mathematics 45 (3), 115-124 (2012). https://doi.org/10.3103/S1063454112030077].
26. Vasil’eva E. V. Multidimensional diffeomorphisms with stable periodic points. Vestnik of Saint Petersburg University. Mathematics. Mechanics. Astronomy 6 (64), iss. 4, 608-618 (2019). https://doi.org/10.21638/11701/spbu01.2019.406 (In Russian) [Eng. transl.: Vestnik St. Petersburg University. Mathematics 52, iss. 4, 380-387 (2019). https://doi.org/10.1134/S1063454119040125].
27. Vasil’eva E. V. Stable and completely unstable periodic points of diffeomorphism of a plane with a heteroclinic contour. Vestnik St. Petersburg University. Mathematics. Mechanics. Astronomy 7 (65), iss. 3, 392-403 (2020). https://doi.org/10.21638/spbu01.2020.303 (In Russian) [Eng. transl.: Vestnik St. Petersburg University: Mathematics 53, iss. 3, 261-269 (2020) https://doi.org/10.1134/S1063454120030152].
28. Vasil’eva E. V. Multi-pass stable periodic points of diffeomorphism of a plane with a homoclinic orbit. Vestnik of Saint Petersburg University. Mathematics. Mechanics. Astronomy 8 (66), iss. 3, 406-416 (2021). https://doi.org/ 10.21638/spbu01.2021.303 (In Russian) [Eng. transl.: Vestnik St. Petersburg University. Mathematics 54, iss. 3, 227-235 (2021). https://doi.org/10.1134/S1063454121030092].
29. Vasil’eva E. V. One-Parameter set of diffeormorphisms of the plane with stable periodic points. Lobachevskii Journal of Mathematics 42, iss. 14, 3543-3549 (2021). https://doi.org/10.1134/S1995080222020172
30. Vasil’eva E. V. Stable periodic solutions of periodic systems of differential equations. Vestnik of Saint Petersburg University. Mathematics. Mechanics. Astronomy 5 (63), iss. 1, 14-21 (2018). https://doi.org/10.21638/11701/spbu01.2018.102 (In Russian) [Eng. transl.: Vestnik St. Petersburg University. Mathematics 51, iss. 1, 9-14 (2018). https://doi.org/10.3103/S1063454118010119].
31. Vasil’eva E. V. The stability of periodic solutions of periodic systems of differential equations with a heteroclinic contour. Vestnik of Saint Petersburg University. Mathematics. Mechanics. Astronomy 7 (65), iss. 2, 297-308 (2020). https://doi.org/ 10.21638/11701/spbu01.2020.212 (In Russian) [Eng. transl.: Vestnik St. Petersburg University. Mathematics 53, iss. 2, 197-205 (2020). https://doi.org/10.1134/S1063454120020156].
32. Pliss V. A., Sell G. R. Perturbations of attractors of differential equations. J. Differential Equations 92, 100-124 (1991). https://doi.org/10.1016/0022-0396(91)90066-I
33. Pliss V. A., Sell G. R. Approximations of the long-time dynamics of the Navier-Stokes equations. J. Differential Equations and Geometric Dynamics: Control Science and Dynamical Systems. Lecture Notes 152, 247-277 (1993).
34. Pliss V. A., Sell G. R. Approximation Dynamics and the Stability of Invariant Sets. J. Differential Equations 149, 1-51 (1997). https://doi.org/10.1006/jdeq.1997.3400
35. Begun N. A. On the stability of sheet invariant sets of two-dimensional periodic systems. Vestnik of Saint Petersburg University. Mathematics. Mechanics. Astronomy iss. 4, 3-12 (2012). (In Russian) [Eng. transl.: Vestnik St. Petersburg University. Mathematics 45, iss. 4, 145-152 (2012). https://doi.org/10.3103/S1063454112040024].
36. Begun N. A. On closure of a leaf invariant set of a perturbed system. Differentsial’nye uravneniia i protsessy upravleniia 1, 80-88 (2013). (In Russian)
37. Begun N. A. On the stability of invariant sets of leaves of three-dimensional periodic systems. Vestnik of Saint Petersburg University. Mathematics. Mechanics. Astronomy 1 (59), iss. 3, 360-367 (2014). (In Russian) [Eng. transl.: Vestnik St. Petersburg University. Mathematics 47, iss. 3, 95-101(2014). https://doi.org/10.3103/S1063454114030030].
38. Begun N. A. Perturbations of weakly hyperbolic invariant sets of two-dimension periodic systems. Vestnik of Saint Petersburg University. Mathematics. Mechanics. Astronomy 2 (60), iss. 1, 23-33 (2015). (In Russian) [Eng. transl.: Vestnik St. Petersburg University. Mathematics 48, iss. 1, 12-19 (2015). https://doi.org/10.3103/S1063454115010033].
39. Begun N. A., Pliss V. A., Sell J. R. On the stability of hyperbolic attractors of systems of differential equations. Differential Equations 52 (2), 139-148 (2016). https://doi.org/10.1134/S0012266116020014 (In Russian) [Eng. transl.: Differential Equations 52 (2), 139-148 (2016)].
40. Begun N. A., Pliss V. A., Sell G. R. On the stability of weakly hyperbolic invariant sets. Journal of Differential Equations 262 (4), 3194-3213 (2017). https://doi.org/10.1016/j.jde.2016.11.023
41. Monakov V. N. Location of integral surfaces for weakly nonlinear systems of differential equations. Vestnik of Leningrad University 1, 68-74 (1973). (In Russian)
42. Begun N. A. On Problems of Stability Theory for Weakly Hyperbolic Invariant Sets. Vestnik of Saint Petersburg University. Mathematics. Mechanics. Astronomy 7 (65), iss. 2, 289-296 (2020). https://doi.org/10.21638/11701/spbu01.2020.211 (In Russian) [Eng. transl.: Vestnik St. PetersburgUniversity. Mathematics 53, iss. 2, 191-196 (2020). https://doi.org/10.1134/S1063454120020065].
43. Hirsch M.W., Pugh C. C., Shub M. Invariant Manifolds. In: Lecture Notes in Mathematics, vol. 583. New York, Springer-Verlag (1977).
Downloads
Published
2024-08-10
How to Cite
Begun, N. A., Vasil’eva, E. V., Zvyagintseva, T. E., & Iljin, Y. A. (2024). Review of the research on the qualitative theory of differential equations at St. Petersburg University. I. Stable periodic points of diffeomorphisms with homoclinic points, systems with weakly hyperbolic invariant sets. Vestnik of Saint Petersburg University. Mathematics. Mechanics. Astronomy, 11(2), 211–227. https://doi.org/10.21638/spbu01.2024.201
Issue
Section
To the 300th anniversary of SPSU
License
Articles of "Vestnik of Saint Petersburg University. Mathematics. Mechanics. Astronomy" are open access distributed under the terms of the License Agreement with Saint Petersburg State University, which permits to the authors unrestricted distribution and self-archiving free of charge.
