Formal groups over sub-rings of the ring of integers of a multidimensional local field

Abstract

В работе строятся так называемые кольца сходимости кольца целых многомерного локального поля. Кольцо сходимости - это подкольцо кольца целых, обладающее тем свойством, что любой степенной ряд с коэффициентами из подкольца сходится при подстановке вместо переменной произвольного элемента максимального идеала. Выводятся свойства колец сходимости и явная формула для их построения. Заметим, что многомерный случай принципиально отличается от случая классического (одномерного) локального поля, где кольцом сходимости является все кольцо целых. Далее рассматривается многомерное локальное поле с нулевой характеристикой предпоследнего поля вычетов. Для каждого кольца сходимости такого поля вводится гомоморфизм, позволяющий по степенному ряду с коэффициентами из кольца построить формальную группу над тем же кольцом с логарифмом, имеющем коэффициенты из поля, причем для коэффициентов задается явная формула. Кроме того, по изогении с коэффициентами из кольца сходимости строится обобщение понятия формальной группы Любина-Тейта над этим кольцом, а также изучаются эндоморфизмы данных формальных групп и выводится критерий их изоморфизма. Доказывается взаимно однозначное соответствие между формальными группами, созданными с помощью кольцевого гомоморфизма и с помощью изогении. Также для любого конечного расширения многомерного локального поля с нулевой характеристикой предпоследнего поля вычетов рассматривается группа точек, порожденная соответствующей формальной группой Любина-Тейта.