Examples of the best piecewise linear approximation with free nodes

Abstract

В 1957 г. Е. Я. Ремез опубликовал монографию, посвященную численным методам чебышёвских приближений. В ней, в частности, рассматривалась задача наилучшего равномерного приближения выпуклой на отрезке функции непрерывными кусочно-линейными функциями со свободными узлами. В 1975 г. А. М. Вершик, В. Н. Малозёмов и А. Б. Певный разработали общий подход к построению наилучших кусочно-полиномиальных приближений со свободными узлами. Было введено понятие разбиения с равными уклонениями и установлено, что такое разбиение существует и порождает наилучшую кусочно-полиномиальную аппроксимацию. Более того, был предложен численный метод построения разбиения с равными уклонениями. В данной заметке на трех примерах показывается, как работает общий подход при решении задачи наилучшей кусочно-линейной аппроксимации со свободными узлами. В случае произвольной непрерывной функции ее наилучшее кусочно-линейное приближение, вообще говоря, не является непрерывным. Оно будет непрерывным при аппроксимации строго выпуклых и строго вогнутых функций.