О константах в обратных теоремах для первой производной
DOI:
https://doi.org/10.21638/spbu01.2021.401Аннотация
Известные доказательства обратных теорем теории приближения тригонометрическими многочленами и целыми функциями экспоненциального типа основаны на идее С. Н. Бернштейна разложить функцию в ряд по функциям ее наилучшего приближения. В работе предлагается новый способ доказательства обратных теорем. Устанавливаются довольно простые тождества, из которых сразу следуют упомянутые обратные теоремы, причем с улучшенными константами. Этот метод применим к производным любого порядка, не обязательно целого, а также (с некоторыми изменениями) к оценкам некоторых других функционалов через наилучшие приближения. В данной работе рассматривается случай первой производной самой функции и ее тригонометрически сопряженной.Ключевые слова:
обратные теоремы, сопряженная функция
Скачивания
Данные скачивания пока недоступны.
Библиографические ссылки
Литература
1. Ахиезер Н.И. Лекции по теории аппроксимации. Москва, Наука (1965).
2. Тиман А.Ф. Теория приближения функций действительного переменного. Москва, ГИФМЛ (1960).
3. Бернштейн С.Н. О наилучшем приближении непрерывных функций посредством многочленов даннойстепени. В: Собр. соч.: в 4 томах. Т. 1, 11–104. Москва, Изд-во АН СССР (1952).
4. Стерлин М.Д. К обратным экстремальным задачам конструктивнойтеории функций. Докл. АН СССР 229 (3), 550–553 (1976).
5. Бари Н.К., Стечкин С.Б. Наилучшие приближения и дифференциальные свойства двух сопряженных функций. Труды Моск. матем. об-ва 5, 483–522 (1956).
6. Стерлин М.Д. Оценки постоянных в обратных теоремах конструктивнойтеории функций. Докл. АН СССР 209 (6), 1296–1298 (1973).
7. Жук В.В. Аппроксимация периодических функций. Ленинград, Изд-во Ленинградского ун-та (1982).
8. Shapiro H.S. Some Tauberian theorems with applications to approximation theory. Bull. Amer. Math. Soc. 74 (3), 500–504 (1968).
9. Стейн И.М. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций, пер. с англ. Москва, Мир (1973).
10. Виноградов О.Л. Точные неравенства типа Джексона для приближенийклассов сверток целыми функциями конечнойстепени. Алгебра и анализ 17 (4), 59–114 (2005).
11. Дзядык В.К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами. Москва, Наука (1977).
12. Натансон Г.И. Об оценке констант Лебега сумм Валле Пуссена. В: Геометрические вопросы теории функций и множеств, 102–107. Калинин, Изд-во Калининского гос. ун-та (1986).
13. Бернштейн С.Н. О наилучшем приближении непрерывных функций на всей вещественной оси при помощи целых функцийданнойстепени. В: Собр. соч.: в 4 томах. Т. 2, 371–395. Москва, Изд-во АН СССР (1954).
References
1. Akhiezer N.I. Lectures on approximation theory. Moscow, Nauka Publ. (1965). (In Russian)
2. Timan A.F. Theory of approximation of functions of a real variable. Moscow, GIFML Publ. (1960). (In Russian)
3. Bernstein S.N. On the best approximation of continuous functions by polynomials of given degree. In: Collected Works: in 4 vols. Vol. 1, 11-104. Moscow, Acad. Sci. USSR Publ. (1952). (In Russian)
4. Sterlin M.D. On inverse extremal problems of the constructive theory of functions. Dokl. Akad. Nauk SSSR 229 (3), 550–553 (1976). (In Russian)
5. Bari N.K., Stechkin S.B. Best approximations and differential properties of two conjugate functions. Trudy Moskov. Mat. Obsh. 5, 483–522 (1956). (In Russian)
6. Sterlin M.D. Estimates of constants in inverse theorems of the constructive theory of functions. Dokl. Akad. Nauk SSSR 209 (6), 1296–1298 (1973). (In Russian)
7. Zhuk V.V. Approximation of periodic functions. Leningrad, Leningrad Univ. Press (1982). (In Russian)
8. Shapiro H.S. Some Tauberian theorems with applications to approximation theory. Bull. Amer. Math. Soc. 74 (3), 500–504 (1968).
9. Stein E.M. Singular integrals and differentiability properties of functions. Princeton, Princeton Univ. Press (1970). [Russ. ed.: Stein E. M. Singuliarnye integraly i differentsial’nye svoistva funktsii. Moscow, Mir Publ. (1973)].
10. Vinogradov O.L. Sharp Jackson type inequalities for approximation of classes of convolutions by entire functions of finite degree. Algebra i analiz 17 (4), 59–114 (2005). (In Russian) [Engl. transl.: St. Petersburg Math. J. 17 (4), 593–633 (2006)].
11. Dzyadyk V.K. Introduction into the theory of uniform approximation of functions by polynomials. Moscow: Nauka Publ. (1977). (In Russian)
12. Natanson G.I. On the estimate of Lebesgue constants of de la Vallee Poussin sums. In: Geometric problems of the theory of functions and sets, 102–107. Kalinin, Kalinin Univ. Press (1986). (In Russian)
13. Bernstein S.N. On the best approximation of continuous functions on the whole line by entire functions of given degree. In: Collected Works: in 4 vols. Vol. 2, 371–395. Moscow, Acad. Sci. USSR Publ. (1954). (In Russian)
Загрузки
Опубликован
04.01.2022
Как цитировать
Виноградов, О. Л. (2022). О константах в обратных теоремах
для первой производной. Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия, 8(4), 559–571. https://doi.org/10.21638/spbu01.2021.401
Выпуск
Раздел
Математика
Лицензия
Статьи журнала «Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия» находятся в открытом доступе и распространяются в соответствии с условиями Лицензионного Договора с Санкт-Петербургским государственным университетом, который бесплатно предоставляет авторам неограниченное распространение и самостоятельное архивирование.
