О сложности аппроксимации в постановке в среднем для тензорных степеней случайных процессов

Аннотация

Рассматривается случайное поле с нулевым средним и непрерывной ковариационной функцией, которое является $d$-тензорной степенью некоторого случайного процесса второго порядка. Сложность аппроксимации $n_d\(\varepsilon\)$ в постановке в среднем для заданного случайного поля определяется как минимальное число значений линейных функционалов, необходимых для его приближения с относительной средней квадратической ошибкой, не превышающей заданного порога $\varepsilon$. В настоящей работе мы получаем верхнюю оценку для $n_d\(\varepsilon\)$, которая всегда (без каких-либо критериев) имеет место для любых $\varepsilon$ и $d$. Логарифм этой оценки хорошо согласуется с получаемой нами асимптотикой ln $n_d\(\varepsilon\)$ при $d \to \infty$с порогом $\varepsilon = \varepsilon_d$, который может весьма быстро сходиться к нулю при $d \to \infty$. Полученные оценка и асимптотика дополняют и обобщают результаты Лифшица и Туляковой, а также Кравченко и Хартова в этом направлении.

Ключевые слова:

сложность аппроксимации, постановка в среднем, случайное поле, тензорная степень, высокая размерность, трактабильность