Многомерные диффеоморфизмы с устойчивыми периодическими точками

Аннотация

В работе рассматривается диффеоморфизм многомерного пространства в себя с гиперболической неподвижной точкой в предположении, что пересечение устойчивого и неустойчивого многообразия содержит точки, отличные от гиперболической (такие точки называются гомоклиническими и подразделяются на трансверсальные и нетрансверсальные в зависимости от поведения устойчивого и неустойчивого многообразия в точке пересечения). Из статей Ш. Ньюхауса, Л. П.Шильникова, Б.Ф. Иванова и других авторов следует, что при определенном способе касания устойчивого многообразия с неустойчивым в гомоклинической точке окрестность нетрансверсальной гомоклинической точки содержит бесконечное множество устойчивых периодических точек, но хотя бы один из характеристических показателей у этих точек стремится к нулю с увеличением периода. Предлагаемая работа является продолжением опубликованных ранее работ автора, в которых накладывались ограничения на собственные числа матрицы Якоби исходного диффеоморфизма в гиперболической точке. В этих работах предполагалось, что либо все собственные числа действительны и матрица Якоби диагональна, либо эта матрица имеет лишь одно действительное собственное число по модулю меньше единицы, а все остальные собственные числа различные комплексные числа по модулю больше единицы. В этих условиях были получены условия наличия в произвольной окрестности нетрансверсальной гомоклинической точки бесконечного множества устойчивых периодических точек с отделенными от нуля характеристическими показателями. В данной работе предполагается, что матрица Якоби диффеоморфизма имеет в гиперболической точке произвольный набор собственных чисел. В этом случае получены условия существования в окрестности нетрансверсальной гомоклинической точки бесконечного множества устойчивых периодических точек, характеристические показатели которых отделены от нуля. Условия накладываются, прежде всего, на способ касания устойчивого многообразия с неустойчивым, однако при доказательстве теоремы существенно используются свойства собственных чисел матрицы Якоби в гиперболической точке.

Ключевые слова:

многомерный диффеоморфизм, нетрансверсальная гомоклиническая точка, устойчивость, отделенные от нуля характеристические показатели