Многообходные устойчивые периодические точки диффеоморфизма плоскости с гомоклинической орбитой
DOI:
https://doi.org/10.21638/spbu01.2021.303Аннотация
Изучается диффеоморфизм плоскости в себя с неподвижной гиперболической точкой и нетрансверсальной гомоклинической к ней точкой. Известны различные способы касания устойчивого и неустойчивого многообразия в гомоклинической точке. Периодические точки, траектории которых не покидают окрестность траектории гомоклинической точки, делятся на счетное множество типов. Периодические точки, принадлежащие одному типу, называются n-обходными, если их траектории имеют n витков, которые лежат вне достаточно малой окрестности гиперболической точки. Ранее в статьях Ш. Ньюхауса, Л.П.Шильникова, Б. Ф.Иванова и других авторов изучались диффеоморфизмы плоскости с нетрансверсальной гомоклинической точкой, предполагалось, что эта точка является точкой с конечным порядком касания. В этих работах показано, что в окрестности гомоклинической точки могут лежать бесконечные множества устойчивых двухобходных и трехобходных периодических точек. Наличие таких множеств зависит от свойств гиперболической точки. В данной работе предполагается, что гомоклиническая точка не является точкой с конечным порядком касания устойчивого и неустойчивого многообразия. В работе показано, что при любом фиксированном натуральном n окрестность нетрансверсальной гомоклинической точки может содержать бесконечное множество устойчивых n-обходных периодических точек с отделенными от нуля характеристическими показателями.Ключевые слова:
диффеоморфизм, нетрансверсальная гомоклиническая точка, устойчивость, характеристические показатели
Скачивания
Данные скачивания пока недоступны.
Библиографические ссылки
Литература
1. Плисс В.А. Интегральные множества периодических систем дифференциальных уравнений. Москва, Наука (1977).
2. Newhouse Sh. Diffeomorphisms with infinitely many sinks. Topology 12, 9–18 (1973).
3. Иванов Б.Ф. Устойчивость траекторий, не покидающих окрестность гомоклинической кривой. Дифференц. уравнения 15 (8), 1411–1419 (1979).
4. Гонченко С.В., Шильников Л.П. О динамических системах с негрубыми гомоклиническими кривыми. Доклады АН СССР 286 (5), 1049–1053 (1986).
5. Гонченко С.В., Тураев Д.В., Шильников Л.П. Динамические явления в многомерных системах с негрубой гомоклинической кривой Пуанкаре. Докл. Академии наук 330 (2), 144–147 (1993).
6. Стенькин О.В., Шильников Л.П. О бифуркациях периодических движений вблизи негрубой гомоклинической кривой. Дифференц. уравнения 33 (3), 377–384 (1997).
7. Васильева Е.В. Диффеоморфизмы плоскости с устойчивыми периодическими точками. Дифференц. уравнения 48 (3), 307–315 (2012).
8. Васильева Е.В. Устойчивость периодических точек диффеоморфизма плоскости в случае наличия гомоклинической орбиты. Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия 6 (64), вып. 1, 44–52 (2019). https://doi.org/10.21638/11701/spbu01.2019.103
References
1. Pliss V.A. Integral Sets of Periodic Systems of Differential Equations. Moscow, Nauka Publ. (1977). (In Russian)
2. Newhouse Sh. Diffeomorphisms with infinitely many sinks. Topology 12, 9–18 (1973). 3. Ivanov B.F. Stability of the trajectories that do not leave the neighborhood of a homoclinic curve. Differ. Uravn. 15 (8), 1411–1419 (1979). (In Russian)
4. Gonchenko S.V., Shil’nikov L.P. Dynamical systems with structurally unstable homoclinic curves. Dokl. Akad. Nauk SSSR 286 (5), 1049–1053 (1986). (In Russian)
5. Gonchenko S.V., Turaev D.V., Shil’nikov L.P. Dynamical phenomena in multidimensional systems with a structurally unstable homoclinic Poincare curve. Dokl. Akad. Nauk 330 (2), 144–147 (1993). (In Russian) [Engl. transl.: Dokl. Math. 17 (3), 410–415 (1993)].
6. Sten’kin O.V, Shilnikov L.P. On bifurcations of periodic motions near a structurally unstable homoclinic curve. Differential Equations 33 (3), 375–383 (1997). (In Russian)
7. Vasil’eva E.V. Diffeomorphisms of the plane with stable periodic points. Differentsial’nye Uravneniya 48 (3), 307–315 (2012). (In Russian) [Engl. transl.: Differential Equations 48 (3), 309–317 (2012). https://doi.org/10.1134/S0012266112030019].
8. Vasil’eva E.V. Stability of periodic points of a diffeomorphism of a plane in a homoclinic orbit. Vestnik of Saint Petersburg University. Mathematics. Mechanics. Astronomy 6 (64), вып. 1, 44–52 (2019). https://doi.org/10.21638/11701/spbu01.2019.103 (In Russian) [Engl. transl.: Vestnik St.Petersburg University, Mathematics 52, iss. 1, 30–35 (2019). https://doi.org/10.3103/S1063454119010138].
Загрузки
Опубликован
26.09.2021
Как цитировать
Васильева, Е. В. (2021). Многообходные устойчивые периодические точки диффеоморфизма плоскости с гомоклинической орбитой. Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия, 8(3), 406–416. https://doi.org/10.21638/spbu01.2021.303
Выпуск
Раздел
Математика
Лицензия
Статьи журнала «Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия» находятся в открытом доступе и распространяются в соответствии с условиями Лицензионного Договора с Санкт-Петербургским государственным университетом, который бесплатно предоставляет авторам неограниченное распространение и самостоятельное архивирование.
