Постановка и решение обобщенной задачи Чебышёва. I
DOI:
https://doi.org/10.21638/11701/spbu01.2019.413Аннотация
В работе рассматриваются исследования, посвященные движению неголономных систем со связями высокого порядка. Задача о движении таких систем формулируется как обобщенная задача Чебышёва. Для исследования движения этих систем построены две теории их движения. В первой из них строится совместная система дифференциальных уравнений относительно неизвестных обобщенных координат и множителей Лагранжа, а во второй — уравнения движения получаются с помощью применения обобщенного принципа Гаусса. При исследованиях связи высокого порядка рассматриваются как программные. Таким образом, ставится задача отыскания управления, обеспечивающего выполнение программы, заданной в виде дополнительной системы дифференциальных уравнений, линейной относительно производных порядка n ≥ 3 от искомых обобщенных координат. Тем самым, в рассмотрение вводится некоторый новый класс задач управления. Приводится ряд примеров решения реальных механических задач, сформулированных как обобщенные задачи Чебышёва. Предлагаемая статья представляет собой обзор многолетних исследований, проведенных на кафедре теоретической и прикладной механики математико-механического факультета Санкт-Петербургского государственного университета.
Ключевые слова:
неголономная механика, связи высокого порядка, принцип максимума Понтрягина, обобщенный принцип Гаусса, управление, гашение колебаний, обобщенная краевая задача
Скачивания
Данные скачивания пока недоступны.
Библиографические ссылки
Литература
Чебышёв П.Л. Сочинения П.Л. Чебышёва, изданные под ред. А.А. Маркова и Н.Я. Сонина. СПб.: Имп. Акад. Наук. Т. I. 1899; Т. II. 1907.
Научное наследие П.Л. Чебышёва. Выпуск второй. Теория механизмов / отв. редакторы Н. Г. Бруевич и И. И. Артоболевский. М.; Л.: Изд. АН СССР. 1945.
Kuteeva G., Yushkov M., Rimushkina E. Pafnutii Lvovich Chebyshev as a mechanician // 2015 International Conference on Mechanics — Seventh Polyakhov’s Reading. 2015. Art. no. 7106746. https://doi.org/10.1109/POLYAKHOV.2015.7106746
Зегжда С.А., Юшков М.П. Смешанная задача динамики // Докл. РАН. 2000. Т. 374, №5. С. 628–630.
Зегжда С.А., Солтаханов Ш.Х., Юшков М.П. Уравнения движения неголономных систем и вариационные принципы механики. Новый класс задач управления. М.: Наука; Физматлит, 2005.
Поляхов Н.Н. Уравнения движения механических систем при нелинейных, неголономных связях в общем случае // Вестн. Ленингр. ун-та. Серия 1. Математика. Механика. Астрономия. 1972. Вып. 1 (№1). С. 124–132.
Поляхов Н.Н. О дифференциальных принципах механики, получаемых из уравнений движения неголономных систем // Вестн. Ленингр. ун-та. Серия 1. Математика. Механика. Астрономия. 1974. Вып. 3 (№13). С. 106–116.
Ляпунов А.М. Лекции по теоретической механике. Киев: Наукова думка, 1982.
Суслов Г.К. Основы аналитической механики. Т. I. Киев: Тип. Имп. ун-та Св.Владимира, 1900.
Поляхов Н.Н., Зегжда С.А., Юшков М.П. Уравнения динамики как необходимые условия минимальности принуждения по Гауссу // Колебания и устойчивость механических систем. Прикл. механика. Вып. 5. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1981. С. 9–16.
Поляхов Н.Н., Зегжда С.А., Юшков М.П. Теоретическая механика. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1985; М.: Высшая школа, 2000; М.: Юрайт, 2012, 2015.
Storch J., Gates S. Motivating Kane’s method for obtaining equations of motion for dynamic systems // J. of Guidance, Dynamics and Control. 1989. Vol. 12, №4. P. 593–595. https://doi.org/10.2514/3.20448
Udwadia F.E., Kalaba R.E. A new perspective on constrained motion // Proceedings of the Royal Society. London. 1992. Vol.A439, №1906. P. 407–410. https://doi.org/10.1098/rspa.1992.0158
Borri M., Bottasso C., Mantegazza P. Equivalence of Kane’s and Maggi’s equations // Meccanica. 1990. Vol. 25, №4. P. 272–274. https://doi.org/10.1007/BF01559692 ; Они же. Acceleration projection method in multibody dynamics // Europ. J. Mech. A/Solids. 1992. Vol. 11, №3. P. 403–417.
Blajer W. A projetion method approach to constrained dynamic analysis // ASME. J. Appl. Mech. 1992. Vol. 59, №3. P. 643–649. https://doi.org/10.1115/1.2893772
Essén H. Projecting Newton’s equations onto non-ordinate tangent vectors of the configuration space; a new look at Lagrange’s equations in ferms of quasicoordinates // 18th Int. Congr. Theor. and Appl. Mech., Haifa, Aug. 22–28, 1992. Haifa, 1992. P. 52; Он же. On the geometry of nonholonomic dynamics // ASME. J. Appl. Mech. 1994. №61. P. 689–694.
Величенко В.В. Матричные уравнения движения неголономных систем // Докл. АН СССР. 1991. Т. 321, №3. С. 499–504.
Голубев Ю.Ф. Основные принципы механики для систем с дифференциальными нелинейными связями // Второе Всероссийское совещание-семинар зав. каф. теорет. механики. Тез. докл. Москва, 11–16 октября 1999 г. С. 14–15.
Паpс Л.А. Аналитическая динамика (Пеpевод с англ.). М.: Наука, 1971.
Румянцев В.В. О совместимости двух основных принципов динамики и о принципе Четаева // Проблемы аналитической механики, теорий устойчивости и управления. М.: Наука, 1975. С. 258–267; Он же. К вопросу о совместимости дифференциальных пpинципов механики // Аэромеханика и газовая динамика. М.: Наука, 1976. С. 172–178.
Поляхов Н.Н., Зегжда С.А., Юшков М.П. Обобщение принципа Гаусса на случай неголономных систем высших порядков // Докл. АН СССР. 1983. Т. 269, №6. С. 1328–1330.
Зегжда С.А., Солтаханов Ш.Х., Юшков М.П. Уравнения движения неголономных систем и вариационные принципы механики. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2002.
Поляхов Н.Н., Зегжда С.А., Юшков М.П. Специальная форма уравнений динамики системы твердых тел // Доклады АН СССР. 1989. Т. 309, №5. Вып. 4. С. 752–760.
Нездеров А.А., Юшков М.П. Продольное движение автомобиля с ускорением // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. Астрономия. 2006. Вып. 2 (№9). С. 118–124.
Зегжда С.А., Юшков М.П. Геометрическая интерпретация уравнений Пуанкаре — Четаева — Румянцева // Прикл. мат. и мех. 2001. Т. 65. Вып. 4. С. 752–760.
Зегжда С.А., Солтаханов Ш.Х. Применение обобщенного принципа Гаусса к решению задачи о гашении колебаний механических систем // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2010. №2. С. 20–25.
Зегжда С.А., Товстик П.Е., Юшков М.П. Обобщенный принцип Гамильтона — Остроградского и его применение для гашения колебаний // Доклады РАН. 2012. Т. 447, №3. С. 280–283.
Солтаханов Ш.Х. Об одном видоизменении принципа Поляхова — Зегжды–Юшкова // Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. Астрономия. 1990. Вып. 4 (№22). С. 58–61.
Юшков М.П. Уравнения движения машинного агрегата с вариатором как неголономной системы с нелинейной связью второго порядка // Мех. тверд. тела. 1997. №4. С. 40–44.
Солтаханов Ш.Х., Шугайло Т. С., Юшков М.П. К вопросу о векторной записи вариационных дифференциальных принципов механики // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Математика. Механика. Астрономия. 2018. Т. 63, №1. С. 147–153. https://doi.org/10.21638/11701/spbu01.2018.116
Zegzhda S., Yushkov M., Soltakhanov Sh., Naumova N., Shugaylo T. A novel approach to suppression of oscillations // ZAMM (Zeitschrift für angew. Math. und Mech.). 2018. Vol. 98. Issue 5. P. 781–788. https://doi.org/10.1002/zamm.201700005
Shugaylo T.S., Yushkov M.P. Motion control of a gantry crane with a container // The Eighth Polyakhov’s Reading. AIP (American Institute of Physics) Conference Proceedings. 2018. Vol. 1959, art. no. 030021. https://doi.org/10.1063/1.5034601
Солтаханов Ш.Х. Определение управляющих сил при наличии связей высокого порядка. М.: Наука; Физматлит, 2014.
Зегжда С.А., Солтаханов Ш.Х., Юшков М.П. Неголономная механика. Теория и приложения. М.: Наука; Физматлит, 2009.
Zegzhda S.A., Soltakhanov Sh.Kh., Yushkov M.P. Уравнения движения неголономных систем и вариационные принципы механики. Новый класс задач управления (Перевод на китайский язык). Beijing: Beijing Institute of Technology Press, 2007.
Soltakhanov Sh.Kh., Yushkov M.P., Zegzhda S.A. Mechanics of non-holonomic systems. A new class of control systems. Berlin-Heidelberg: Springer-Verlag, 2009. https://doi.org/10.1007/978-3-540-85847-8
Зегжда С.А., Юшков М.П., Солтаханов Ш.Х., Шатров Е.А. Неголономная механика и теория управления. М.: Наука; Физматлит, 2018.
Новосёлов В.С. Аналитическая механика систем с пеpеменными массами. Л.: Изд-во Ленингp. ун-та, 1969.
Новосёлов В.С. Пpимеp нелинейной неголономной связи, не относящейся к типу Н. Г. Четаева // Вестн. Ленингр. ун-та. Серия 1. Математика. Механика. Астрономия. 1957. №19. С. 106–111.
Новосёлов В.С. Вариационные методы в механике. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1966.
Воробьёв А.П. О применении принципа Гаусса в динамике систем со случайными силами // Вестн. Ленингр. ун-та. Серия 1. Математика. Механика. Астрономия. 1972. №19. С. 83–87.
Родюков Ф.Ф., Львович А.Ю. Уравнения электрических машин. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 1997.
Hamel G. Theoretische Mechanik. Eine einheitliche Einführung in die gesamte Mechanik. Berlin — Göttingen — Heidelberg: Springer-Verlag, 1949. https://doi.org/10.1007/978-3-642-88463-4
Солтаханов Ш.Х., Юшков М.П. Применение обобщенного принципа Гаусса для составления уравнений движения систем с неголономными связями третьего порядка // Вестн. Ленингр. ун-та. Серия 1. Математика. Механика. Астрономия. 1990. Вып. 3 (№15). С. 77–83.
Солтаханов Ш.Х., Юшков М.П. Уравнения движения одной неголономной системы при наличии связи второго порядка // Вестн. Ленингр. ун-та. 1991. Вып. 4 (№22). С. 26–29.
Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. М.: Наука, 1979.
Kitzka F. An example for the application of a nonholonomic constraint of 2nd order in particle mechanics // ZAMM. 1986. Vol. 66, №7. S. 312–314. https://doi.org/10.1002/zamm.19860660711
Чуев М.А. К вопpосу аналитического метода синтеза механизма // Изв. вузов. Машиностpоение. Изд-во МВТУ им. Н. Э. Баумана, 1974. №8. С. 165–167.
Dodonov V.V., Soltakhanov Sh.Kh., Yushkov M.P. The motion of an Earth satellite after imposition of a non-holonomic of the third-order constraint // The Eighth Polyakhov’s Reading. AIP (American Institute of Physics) Conference Proceedings. 2018. Vol. 1959, art. no. 030006. https://doi.org/10.1063/1.5034586
References
Chebyshev P.L., P. L. Chebyshev’s essay publishid with the editing of A.A. Markov and N.Ya. Sonin (Imperial Academy of Sciences Publ., St. Petersburg, Vol. I, 1899; Vol. II, 1907). (In Russian)
Scientific legacy of P. L. Chebyshev. Second edition. Theory of mechanisms (Eds. N.G. Bruevich, and I.I. Artobolevskii, Academy of Sciences of USSR Publ., Moscow, Leningrad, 1945). (In Russian)
Kuteeva G., Yushkov M., Rimushkina E., “Pafnutii Lvovich Chebyshev as a mechanician”, 2015 International Conference on Mechanics — Seventh Polyakhov’s Reading, 7106746 (2015). https://doi.org/10.1109/POLYAKHOV.2015.7106746
Zegzhda S.А., Yushkov M.P., “Mixed problem of dynamics”, Doklady Akademii Nauk (Proceedings of the Russian Academy of Sciences) 374(5), 628–630 (2000). (In Russian)
Zegzhda S.А., Soltakhanov Sh.Kh., Yushkov M.P., Motion equations of nonholonomic systems and variational principles of mechanics. New class of control problems (Nauka Publ., Fizmatlit Publ., Мoscow, 2005). (In Russian)
Polyakhov N.N., “Motion equations of mechanical systems with nonlinear nonholonomic constraints in a general case”, Vestnik of Leningrad University. Series 1. Mathematics. Mechanics. Astronomy, issue 1 (№1), 124–132 (1972). (In Russian)
Polyakhov N.N., “Abiout differencial principles of mechanics derived from motion equations of nonholonomic systems”, Vestnik of Leningrad University. Series 1. Mathematics. Mechanics. Astronomy, issue 3 (№13), 106–116 (1974). (In Russian)
Lyapunov А.М., Lectures on theoretical mechanics (Naukova Dumka Publ., Kiev, 1982). (In Russian)
Suslov G.К., Fundamentals of ananlitic mechanics I (Imperial University of Saint Vladimir Publ., Kiev, 1900). (In Russian)
Polyakhov N.N., Zegzhda S.А., Yushkov M.P., “Dynamic equations as necessary conditions for the minimality of compulsion in Gauss”, Oscillations and stability of mechanical systems. Applied mechanics, issue 5, 9–16 (Leningrad Univ. Publ., Leningrad, 1981). (In Russian)
Polyakhov N.N., Zegzhda S.А., Yushkov M.P. Theoretical mechanics (Leningrad Univ. Publ., Leningrad, 1985; Vysshaya shkola Publ., Moscow, 2000; Urait, Moscow, 2012, 2015). (In Russian)
Storch J., Gates S., “Motivating Kane’s method for obtaining equations of motion for dynamic systems”, J. of Guidance, Dynamics and Control 12(4), 593–595 (1989). https://doi.org/10.2514/3.20448
Udwadia F.E., Kalaba R.E., “A new perspective on constrained motion”, Proceedings of the Royal Society A439(1906), 407–410 (London, 1992). https://doi.org/10.1098/rspa.1992.0158
Borri M., Bottasso C., Mantegazza P., “Equivalence of Kane’s and Maggi’s equations”, Meccanica 25(4), 272–274 (1990). https://doi.org/10.1007/BF01559692 ; They, “Acceleration projection method in multibody dynamics”, Europ. J. Mech. A/Solids 11(3), 403–417 (1992).
Blajer W., “A projetion method approach to constrained dynamic analysis”, ASME. J. Appl. Mech. 59(3), 643–649 (1992). https://doi.org/10.1115/1.2893772
Essén H., “Projecting Newton’s equations onto non-ordinate tangent vectors of the configuration space; a new look at Lagrange’s equations in ferms of quasicoordinates”, 18th Int. Congr. Theor. and Appl. Mech., Haifa, Aug. 22–28, 1992 52 (1992); The same, “On the geometry of nonholonomic dynamics”, ASME. J. Appl. Mech., issue 61, 689–694 (1994).
Velichenko V.V., “Matrix equations of motion of nonholonomic systems”, Doklady Akademii Nauk SSSR (Proceedings of the USSR Academy of Sciences) 321(3), 499–504 (1991). (In Russian)
Golubev Yu.F., “Basic principles of mechanics for systems with differential nonlinear constraints”, Second All-Russian Meeting-Seminar by Heads of Theoretical Mechanics Departments. Abstracts, Moscow, October 11–16, 1999, 14–15 (1999). (In Russian)
Pars L.А., A treatise on analytical dynamics (Heinemann, London, 1965).
Rumyantsev V.V., “On the compatibility of the two basic principles of dynamics and on the Chetaev principle”, Problems of analytical mechanics, theories of stability and control, 258–267 (Nauka Publ., Moscow, 1975); The same, “On the compatibility of the differential principles of mechanics”, Aeromechanics and gas dynamics, 172–178 (Nauka Publ., Moscow, 1976). (In Russian)
Polyakhov N.N., Zegzhda S.А., Yushkov M.P., “Generalization of the Gauss principle to the case of higher-order nonholonomic systems”, Doklady Akademii Nauk SSSR (Proceedings of the USSR Academy of Sciences) 269(6), 1328–1330 (1983). (In Russian)
Zegzhda S.А., Soltakhanov Sh.Kh., Yushkov M.P., Motion equations of nonholonomic systems and variational principles of mechanics (St. Petersburg Univ. Press, St. Petersburg, 2002). (In Russian)
Polyakhov N.N., Zegzhda S.А., Yushkov M.P., “Special form of equations of the system dynamics of solids”, Doklady Akademii Nauk SSSR (Proceedings of the USSR Academy of Sciences) 309(5), issue 4, 752–760 (1989). (In Russian)
Nezderov А.А., Yushkov M.P., “Longitudinal movement of the vehicle with acceleration”, Vestnik of St. Petersburg University. Series 1. Mathematics. Mechanics. Astronomy, issue 2, 118–124 (2006). (In Russian)
Zegzhda S.А., Yushkov M.P., “Geometric interpretation of the Poincare — Chetaev — Rumyantsev equations”, J. Appl. Math. Mech. 65, issue 4, 752–760 (2001). (In Russian)
Zegzhda S.А., Soltakhanov Sh.Kh., “Application of the generalized Gaussian principle to the problem of damping vibrations of mechanical systems”, Journal of Computer and Systems Sciences International 49(2), 186–191 (2010). https://doi.org/10.1134/S1064230710020036
Zegzhda S.А., Tovstik P.Е., Yushkov M.P., “The Hamilton-Ostrogradski generalized principle and its application for damping of oscillations”, Doklady Physics 57(11), 447–450 (2012). https://doi.org/10.1134/S1028335812110092
Soltakhanov Sh.Kh., “About one modification of the Polyakhov — Zegzhda — Yushkov principle”, Vestnik of Leningrad University. Series 1. Mathematics. Mechanics. Astronomy, issue 4 (22), 58–61 (1990). (In Russian)
Yushkov M.P., “Motion equations of a machine unit with a variator as a nonholonomic system with a nonlinear second-order constraint”, Solid mechanics (4), 40–44 (1997). (In Russian)
Soltakhanov Sh.Kh., Shugaylo T. S., Yushkov M.P., “On Vector Form of Differential Variational Principles of Mechanics”, Vestnik St. Petersburg University, Mathematics 51, issue 1, 101–105 (2018). https://doi.org/10.3103/S1063454118010107
Zegzhda S., Yushkov M., Soltakhanov Sh., Naumova N., Shugaylo T., “A novel approach to suppression of oscillations ”, ZAMM (Zeitschrift für angew. Math. und Mech.) 98, issue 5, 781–788 (2018). https://doi.org/10.1002/zamm.201700005
Shugaylo T.S., Yushkov M.P., “Motion control of a gantry crane with a container”, The Eighth Polyakhov’s Reading. AIP (American Institute of Physics) Conference Proceedings 1959, 030021 (2018). https://doi.org/10.1063/1.5034601
Soltakhanov Sh.Kh., Determination of control forces with high order constraints (Nauka Publ., Fizmatlit Publ., Moscow, 2014). (In Russian)
Zegzhda S.А., Soltakhanov Sh.Kh., Yushkov M.P., Nonholonomic mechanics. Theory and applications (Nauka Publ., Fizmatlit Publ., Moscow, 2009). (In Russian)
Zegzhda S.A., Soltakhanov Sh.Kh., Yushkov M.P., Motion equations of nonholonomic systems and variational principles of mechanics. New class of control problems (Chinese translation, Beijing Institute of Technology Press, Beijing, 2007).
Soltakhanov Sh.Kh., Yushkov M.P., Zegzhda S.A., Mechanics of non-holonomic systems. A new class of control systems (Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg, 2009). https://doi.org/10.1007/978-3-540-85847-8
Zegzhda S.А., Yushkov M.P., Soltakhanov Sh.Kh., Shatrov Е.А., Nonholonomic mechanics and control theory (Nauka Publ., Fizmatlit Publ., Moscow, 2018). (In Russian)
Novoselov V.S., Analytical mechanics of variable mass systems (Leningrad Univ. Press, Leningrad, 1969). (In Russian)
Novoselov V.S., “Example of a nonholonomic constraint not related to the Chetaev type”, Vestnik of Leningrad University. Series 1. Mathematics. Mechanics. Astronomy, issue 19, 106–111 (1957). (In Russian)
Novoselov V.S., Variational methods in mechanics (Leningrad Univ. Press, Leningrad, 1966). (In Russian)
Vorobiev A.P., “On the application of the Gaussian principle in the dynamics of systems with random forces”, Vestnik of Leningrad University. Series 1. Mathematics. Mechanics. Astronomy, issue 19, 83–87 (1972). (In Russian)
Rodyukov F.F., L’vovich A.Yu., Equations of electric machine (St. Petersburg Univ. Press, St. Petersburg, 1997). (In Russian)
Hamel G., Theoretische Mechanik. Eine einheitliche Einführung in die gesamte Mechanik. (Springer-Verlag, Berlin — Göttingen — Heidelberg, 1949). https://doi.org/10.1007/978-3-642-88463-4
Soltakhanov Sh.Kh., Yushkov M.P., “Application of the generalized Gaussian principle for the compilation of motion equations of systems with third-order nonholonomic constraints”, Vestnik of Leningrad University. Series 1. Mathematics. Mechanics. Astronomy, issue 3, 77–83 (1990). (In Russian)
Soltakhanov Sh.Kh., Yushkov M.P., “Motion equations of a single nonholonomic system with a second-order constraint”, Vestnik of Leningrad University. Series 1. Mathematics. Mechanics. Astronomy, issue 4, 26–29 (1991). (In Russian)
Dubrovin B.А., Novikov S.P., Fomenko А.Т., Modern geometry (Nauka Publ., Moscow, 1979). (In Russian)
Kitzka F., “An example for the application of a nonholonomic constraint of 2nd order in particle mechanics”, ZAMM 66(7), 312–314 (1986). https://doi.org/10.1002/zamm.19860660711
Chuev М.А., “To the question of the analytical method of synthesis mechanism”, Proceedings of Higher Educational Institutions. Маchine Building (8), 165–167 (1974). (In Russian)
Dodonov V.V., Soltakhanov Sh.Kh., Yushkov M.P., “The motion of an Earth satellite after imposition of a non-holonomic of the third-order constraint”, The Eighth Polyakhov’s Reading. AIP Conference Proceedings 1959, 030006 (2018). https://doi.org/10.1063/1.5034586
Загрузки
Опубликован
28.11.2019
Как цитировать
Юшков, М. П. (2019). Постановка и решение обобщенной задачи Чебышёва. I. Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия, 6(4), 680–701. https://doi.org/10.21638/11701/spbu01.2019.413
Выпуск
Раздел
Механика
Лицензия
Статьи журнала «Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия» находятся в открытом доступе и распространяются в соответствии с условиями Лицензионного Договора с Санкт-Петербургским государственным университетом, который бесплатно предоставляет авторам неограниченное распространение и самостоятельное архивирование.
