Постановка и решение обобщенной задачи Чебышёва. II
DOI:
https://doi.org/10.21638/spbu01.2020.412Аннотация
Данная работа является продолжением статьи «Постановка и решение обобщенной задачи Чебышёва. I» (Вестник СПбГУ. Математика. Механика. Астрономия, 2019), в которой для решения обобщенной задачи Чебышёва излагаются две теории движения неголономных систем со связями высокого порядка. Эти теории используются для исследования движения спутника Земли при фиксировании величины его ускорения (что эквивалентно наложению линейной неголономной связи третьего порядка). В предлагаемой статье вторая теория, базирующаяся на применении обобщенного принципа Гаусса, используется для решения одной из важнейших задач теории управления о нахождении оптимальной управляющей силы, переводящей механическую систему с конечным числом степеней свободы за указанное время из одного фазового состояния в другое. Применение теории демонстрируется решением модельной задачи об управлении горизонтальным движением тележки, несущей оси s математических маятников. Первоначально задача решается с помощью принципа максимума Понтрягина, минимизирующего функционал от квадрата искомой горизонтальной управляющей силы, переводящей за указанное время механическую систему из состояния покоя в новое состояние покоя при горизонтальном смещении тележки на S (то есть рассматривается задача о гашении колебаний). Назовем этот подход первым методом решения поставленной задачи управления. При этом непрерывно выполняется линейная неголономная связь порядка 2s + 4. Это наталкивает на мысль применить для решения той же задачи вторую теорию движения неголономных систем со связями высокого порядка (см. предыдущую статью), разработанную на кафедре теоретической и прикладной механики математико-механического факультета Санкт-Петербургского государственного университета. Назовем такой подход вторым методом решения поставленной задачи. Расчеты, проведенные для случая s = 2, показали, что при кратковременном движении системы результаты, полученные этими методами, практически совпадают, в то время как при длительном движении они резко различаются. Это объясняется тем, что управление, найденное с помощью первого метода, содержит гармоники с собственными частотами системы, что стремится ввести систему в резонанс. При кратковременном движении это мало заметно, а при длительном движении наблюдаются большие колебания системы. При втором методе управление находится в виде полинома от времени, что обеспечивает сравнительно плавное движение системы. Помимо этого в статье для устранения скачков управляющей силы в начале и в конце движения предлагается решать обобщенную краевую задачу и обсуждаются некоторые особые случаи, проявляющиеся иногда при использовании второго метода решения поставленной граничной задачи.Ключевые слова:
неголономная механика, связи высокого порядка, принцип максимума Понтрягина, обобщенный принцип Гаусса, управление, гашение колебаний, обобщенная краевая задача
Скачивания
Данные скачивания пока недоступны.
Библиографические ссылки
Литература
1. Поляхов Н. Н., Зегжда С. А., Юшков М. П. Теоретическая механика. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та. 1985.; М.: Высшая школа, 2000; М.: Юрайт, 2012, 2015.
2. Черноусько Ф. Л., Акуленко Л. Д., Соколов Б. Н. Управление колебаниями. М.: Наука, 1980.
3. Понтрягин Л. С., Болтянский В. Г., Гамкрелидзе Р. В., Мищенко Е. Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1983.
4. Зегжда С. А., Солтаханов Ш. Х., Юшков М. П. Уравнения движения неголономных систем вариационные принципы механики. Новыйкласс задач управления. М.: Наука; Физматлит, 2005.
5. Зегжда С. А., Солтаханов Ш. Х., Юшков М. П. Неголономная механика. Теория и приложения. М.: Наука; Физматлит, 2009.
6. Зегжда С. А., Юшков М. П., Солтаханов Ш. Х., Шатров Е. А. Неголономная механика и теория управления. М.: Наука; Физматлит, 2018.
7. Zegzhda S. A., Soltakhanov Sh. Kh., Yushkov M. P. Уравнения движения неголономных систем и вариационные принципы механики. Новыйкласс задач управления (Перевод на китайскийязык). Beijing: Beijing Institute of Technology Press, 2007.
8. Soltakhanov Sh. Kh., Yushkov M. P., Zegzhda S. A. Mechanics of non-holonomic systems. A new class of control systems. Berlin-Heidelberg: Springer-Verlag, 2009.
9. Юшков М. П. Постановка и решение обобщеннойзадачи Чебышёва. I // Вестник С.-Петерб. ун-та. Математика. Механика. Астрономия. 2019. Т. 6 (64). Вып. 4. С. 680–701.
10. Поляхов Н. Н., Зегжда С. А., Юшков М. П. Обобщение принципа Гаусса на случайнеголономных систем высших порядков // Докл. АН СССР. 1983. Т. 269, №6. С. 1328–1330.
11. Поляхов Н. Н., Зегжда С. А., Юшков М. П. Линейные преобразования сил и обобщенный принцип Гаусса // Вестн. Ленингр. ун-та. 1984. №1. С. 73–79.
12. Чуев М. А. К вопpосу аналитического метода синтеза механизма // Изв. вузов. Машиностpоение. М.: Изд-во МВТУ им. Н. Э. Баумана. 1974. №8. С. 165–167.
13. Костин Г. В., Саурин В. В. Интегродифференциальныйподход к решению задач линейной теории упругости // Доклады Академии наук. 2005. Т. 404, №5. С. 535–538.
14. Костин Г. В., Саурин В. В. Моделирование и оптимизация движенийупругих систем методом интегродифференциальных соотношений// Доклады Академии наук. 2006. Т. 408, №6. С. 750–753
15. Zegzhda S. A., Tovstik P. E., Yushkov M. P. The Hamilton — Ostrogradskii generalized principle and its application for damping of oscillations // Doklady Physics. 2012. Vol. 57, no. 11. P. 447–450.
16. Солтаханов Ш. Х. Гашение колебанийконсоли // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. Астрономия. 2009. Вып. 4. С. 105–112.
17. Солтаханов Ш. Х. Определение управляющих сил при наличии связейвысокого порядка. М.: Наука; Физматлит, 2014.
18. Zegzhda S., Yushkov M., Soltakhanov Sh., Naumova N., Shugaylo T. A novel approach to suppression of oscillations // ZAMM (Zeitschrift f¨ ur angew. Math. und Mech.). 2018. Vol. 98. Iss. 5. P. 781–788.
19. Зегжда С. А., Солтаханов Ш. Х. Применение обобщенного принципа Гаусса к решению задачи о гашении колебаниймеханических систем // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2010. №2. С. 20–25.
20. Зегжда С. А., Юшков М. П. Смешанная задача динамики // Докл. РАН. 2000. Т. 374, №5. С. 628–630.
21. Зегжда С. А. Применение обобщенного оператора Лагранжа при неголономных связях высокого порядка // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. Астрономия. 1998. Вып. 2 (№ 8). С. 76–77.
22. Зегжда С. А., Гаврилов Д. Н. Гашение колебанийупругого тела при его перемещении // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. Астрономия. 2012. Вып. 3. С. 73–83.
23. Зегжда С. А., Шатров Е. А., Юшков М. П. Новый подход к нахождению управления, переводящего систему из одного фазового состояния в другое // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. Астрономия. 2016. T. 3 (61). Вып. 2. С. 286–295.
24. Зегжда С. А., Шатров Е. А., Юшков М. П. Гашение колебанийтележки с двойным маятником с помощью управления ее ускорением // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. Астрономия. 2016. Т. 3 (61). Вып. 4. С. 683–688.
25. Шатров Е. А. Использование главных координат в задаче о гашении колебанийтележки с двумя маятниками // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. Астрономия. 2014. T. 1 (59). Вып. 4. С. 619–623.
26. Солтаханов Ш. Х. Об обобщенном представлении управляющих сил, обеспечивающих заданную программу движения // Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. Астрономия. 1990. Вып. 2 (№ 8). С. 70–75.
27. Солтаханов Ш. Х. Об одном видоизменении принципа Поляхова — Зегжды — Юшкова // Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. Астрономия. 1990. Вып. 4 (№ 22). С. 58–61.
28. Солтаханов Ш. Х. Сравнительныйанализ уравненийдвижения неголономных систем, вытекающих из принципа Поляхова — Зегжды —Юшкова и Нордхайма — Долапчиева (принципа Манжерона — Делеану) // Сб.: Проблемы механики и управления. Нелинейные динамические системы. Пермь. 1997. С. 136–148.
29. Солтаханов Ш. Х., Юшков М. П. Применение обобщенного принципа Гаусса для составления уравнений движения систем с неголономными связями третьего порядка // Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. Астрономия. 1990. Вып. 3 (№15). С. 77–83.
30. Солтаханов Ш. Х., Юшков М. П. Уравнения движения одной неголономной системы при наличии связи второго порядка // Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. Астрономия. 1991. Вып. 4 (№ 22). С. 26–29.
31. Солтаханов Ш. Х., Юшков М. П. Определение минимальнойпроизводнойот добавочной силы, обеспечивающейзаданную программу движения // Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. Астрономия. 1993. Вып. 1 (№ 1). С. 97–101.
32. Солтаханов Ш. Х., Юшков М. П. Определение векторнойстpуктуpы реакцийсвязейвысокого порядка // Теоретическая механика. 1996. Вып. 22. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана. С. 30–34.
33. Юшков М. П. Уравнения движения машинного агрегата с вариатором как неголономной системы с нелинейной связью второго порядка // Мех. тверд. тела. 1997. №4. С. 40–44.
34. Додонов В. В., Юшков М. П. Нахождение управляющего момента, переводящего твердое тело из одного углового состояния в другое, с помощью минимизации различных функционалов // XII Всероссийскийсъезд по фундаментальным проблемам теоретическойи прикладноймеханики: Сборник трудов в 4 томах. Т. 1. Уфа: РИЦ БашГУ, 2019. С. 199–200.
35. Солтаханов Ш. Х., Шугайло Т. С., Юшков М. П. . Применение обобщенного принципа Гаусса для гашенийколебанийгруза портального крана с выделением движения системы как твердого тела // XII Всероссийскийсъезд по фундаментальным проблемам теоретическойи прикладной механики: Сборник трудов в 4 томах. Т. 1. Уфа: РИЦ БашГУ, 2019. С. 271–273.
36. Фазлыева К. М., Шугайло Т. С. Управление гашением колебаний трех массовой системы при горизонтальном движении // Труды семинара «Компьютерные методы в механике сплошной среды» 2018–2019 гг. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2019. С. 56–67.
37. Shugaylo T. S., Yushkov M. P. Motion control of a gantry crane with a container // The Eighth Polyakhov’s Reading. AIP (American Institute of Physics) Conference Proceedings. 2018. Vol. 1959. Art. no. 030021.
References
1. Polyakhov N. N., Zegzhda S. A., Yushkov M. P., Theoretical mechanics (Leningrad Univ. Press, Leningrad, 1985; Vysshaya shkola Publ., Moscow, 2000; Urait, Moscow, 2012, 2015). (In Russian)
2. Chernous’ko F. L., Akulenko L. D., Sokolov B. N., Control of the vibrations (Nauka Publ., Moscow, 1980). (In Russian)
3. Pontryagin L. S., Boltyanskii V. G., Gamkrelidze R. V., Mishchenko E. F., Mathematical theory of optimal processes (Nauka Publ., Fizmatlit Publ., Moscow, 1983). (In Russian)
4. Zegzhda S. A., Soltakhanov Sh. Kh., Yushkov M. P., Motion equations of non-holonomic systems and varitional principles of mechanics. New class of control problems (Nauka Publ., Fizmatlit Publ., Moscow, 2005). (In Russian)
5. Zegzhda S. A., Soltakhanov Sh. Kh., Yushkov M. P., Non-holonomic mechanics. Theory and applications (Nauka Publ., Fizmatlit Publ., Moscow, 2009). (In Russian)
6. Zegzhda S. A., Yushkov M. P., Soltakhanov Sh. Kh., Shatrov E. A., Non-holonomic mechanics and control theory (Nauka Publ., Fizmatlit Publ., Moscow, 2018). (In Russian)
7. Zegzhda S. A., Soltakhanov Sh. Kh., Yushkov M. P., Motion equations of non-holonomic systems and varitional principles of mechanics. New class of control problems (Chinese translation, Beijing Institute of Technology Press, Beijing, 2007).
8. Soltakhanov Sh. Kh., Yushkov M. P., Zegzhda S. A., Mechanics of non-holonomic systems. A new class of control systems (Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg, 2009).
9. Yushkov M. P., “Formulation and solution of a generalized Chebyshev problem. I”, Vestnik St. Petersburg University. Mathematics. 52 (4), 436–451 (2019).
10. Polyakhov N. N., Zegzhda S. A., Yushkov M. P., “The extension of Gauss’ principle to the case of high-order nonholonomic systems”, Doklady Akademii Nauk SSSR 269, issue 6, 1328–1330 (1983). (In Russian)
11. Polyakhov N. N., Zegzhda S. A., Yushkov M. P., “Linear transformations of forces and a generalized Gauss principle”, Vestnik of Leningrad University. Series 1. Mathematics. Mechanics. Astronomy, issue 1, 73–79 (1984). (In Russian)
12. Chuev M. A., “The analytical method for the synthesis of mechanism”, Proceedings of higher educational instutions. Machine Building 8, 165–167 (MGTU named after N. E. Bauman Press, Moscow, 1974). (In Russian)
13. Kostin G. V., Saurin V. V., “Integro-differential approach to solving the problems of linear elasticity theory”, Doklady Akademii Nauk 404 (5), 535–538 (2005). (In Russian)
14. Kostin G. V., Saurin V. V., “Modelling and optimization of motion of elastic systems by the method of integro-differential relations”, Doklady Akademii Nauk 408 (6), 750–753 (2006). (In Russian)
15. Zegzhda S. A., Tovstik P. E., Yushkov M. P., “The Hamilton — Ostrogradskii generalized principle and its application for damping of oscillations”, Doklady Physics 57 (11), 447–450 (2012)
16. Soltakhanov Sh. Kh., “Suppression of the cantilever’s vibration”, Vestnik of St. Petersburg Univ. Ser. 1. Mathematics. Mechanics. Astronomy, issue 4, 105–112 (2009). (In Russian)
17. Soltakhanov Sh. Kh., Determinztions of control forces with high order constraints (Nauka Publ., Fizmatlit Publ., Moscow, 2014). (In Russian)
18. Zegzhda S., Yushkov M., Soltakhanov Sh., Naumova N., Shugaylo T., “A novel approach to suppression of oscillations”, ZAMM (Zeitschrift f¨ ur angew. Math. und Mech.) 98, issue 5, 781–788 (2018).
19. Zegzhda S. A., Soltakhanov Sh. Kh., “Application of the generalized Gaussian principle to the problem of damping vibrations of mechanical systems”, Journal of computer and systems sciences international 49 (2), 186–191 (2010). (In Russian)
20. Zegzhda C. A., Yushkov M. P., “Mixed problem of dynamics”, Doklady Akademii Nauk 374 (5), 628–630 (2000). (In Russian)
21. Zegzhda S. A., “Application of a generalized Lagrange operator for nonholonomic high-order constraints”, Vestnik of St. Petersburg Univ. Ser. 1. Mathematics. Mechanics. Astronomy, issue 2 (8), 76–77 (1998). (In Russian)
22. Zegzhda S. A., Gavrilov D. N., “Suppression of vibration of an elastic body during its motion”, Vestnik of St. Petersburg Univ. Ser. 1. Mathematics. Mechanics. Astronomy, issue 3, 73–83 (2012). (In Russian)
23. Zegzhda S. A., Shatrov E. A., Yushkov M. P., “A new approach to finding the control transporting a system from one phase state to another”, Vestnik of St. Petersburg Univ. Ser. 1. Mathematics. Mechanics. Astronomy, issue 2, 286–295 (2016). (In Russian)
24. Zegzhda S. A., Shatrov E. A., Yushkov M. P., “Suppression of oscillation of a trolley with a double pendulum by means of control of its acceleration”, Vestnik of St. Petersburg Univ. Ser. 1. Mathematics. Mechanics. Astronomy, 3 (61), issue 4, 683–688 (2016). (In Russian)
25. Shatrov E. A., “The use of master coordinates in the problem of damping the vibration of a trolley with two pendulums”, Vestnik of St. Petersburg Univ. Ser. 1. Mathematics. Mechanics. Astronomy, issue 4, 619–623 (2014). (In Russian)
26. Soltakhanov Sh. Kh., “Generalized representation of control forces providing the given program of motion”, Vestnik of St. Petersburg Univ. Ser. 1. Mathematics. Mechanics. Astronomy, issue 2 (8), 70–75 (1990). (In Russian)
27. Soltakhanov Sh. Kh., “About one modification of the Polyakhov — Zegzhda — Yushkov principle”, Vestnik of Leningrad University. Ser. 1. Mathematics. Mechsanics. Astronomy, issue 4 (22), 58–61 (1990). (In Russian)
28. Soltakhanov Sh. Kh., “Comparative analysis of equations of motion of nonholonomic systems based on the principle of Polyakhov — Zegzhda — Yushkov and Nordheim — Dolapchiev (the Mangeron — Deleanu principle)”, Proceedings: Problems of the control mechanics. Nonlinear dynamic systems. Perm, 136–148 (1997). (In Russian)
29. Soltakhanov Sh. Kh., Yushkov M. P., “The application of a generalized Gauss principle to generating the equations of motion of systems with the third-order nonholonomic constraints”, Vestnik of Leningrad University. Ser. 1. Mathematics. Mechanics. Astronomy, issue 3 (15), 77–83 (1990). (In Russian)
30. Soltakhanov Sh. Kh., Yushkov M. P., “Equations of motion of a nonholonomic system with second-order constraint”, Vestnik of Leningrad University. Ser. 1. Mathematics. Mechanics. Astronomy, issue 4 (22), 26–29 (1991). (In Russian)
31. Soltakhanov Sh. Kh., Yushkov M. P., “Determination of a minimal derivative of additional force providing a given program motion”, Vestnik of Leningrad University. Ser. 1. Mathematics. Mechanics. Astronomy, issue 1 (1), 97–101 (1993). (In Russian)
32. Soltakhanov Sh. Kh., Yushkov M. P., “Determination of a vector structure of high-order constraint reactions”, Theoretical mechanics, issue 22, 30–34 (MGTU named after N. E. Bauman Press, Moscow, 1996). (In Russian)
33. Yushkov M. P., “Motion equations of a machine unit with a variator as a nonholonomic system with a nonlinear second-order constraints”, Solid mechanics (4), 40–44 (1997). (In Russian)
34. Dodonov V. V., Yushkov M. P., “Determination of a control moment transferring a rigid body from one angular coordinate position to another by means of minimization of different functionals”, XII All-Russian Congress on fundamental problems of theoretical and applied mechanics: Proceedings in 4 volumes. Ufa: RITS BashGU 1, 199–200 (2019). (In Russian)
35. Soltakhanov Sh. Kh., Shugaylo T. S., Yushkov M. P., “Applying the generalized Gauss principle to damping the vibration of a cargo carried by a bridge crane with the motion phase as one of a rigid body”, XII All-Russian Congress on fundamental problems of theoretical and applied mechanics: Proceedings in 4 volumes. Ufa: RITS BashGU 1, 271–273 (2019). (In Russian)
36. Fazlyeva K. M., Shugaylo T. S., “Control of the damping the vibration of a three-mass system during its horizontal motion”, Proceedings of the seminar “Computer methods in the continuum mechanics” 2018–2019, 56–67 (St. Petersburg, St. Petersburg Univ. Press, 2019). (In Russian)
37. Shugaylo T. S., Yushkov M. P., “Motion control of a gantry crane with a container”, The Eighth Polyakhov’s Reading. AIP (American Institute of Physics) Conference Proceedings 1959, 030021 (2018).
Загрузки
Опубликован
27.12.2020
Как цитировать
Юшков, М. П. (2020). Постановка и решение обобщенной задачи Чебышёва. II. Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия, 7(4), 714–733. https://doi.org/10.21638/spbu01.2020.412
Выпуск
Раздел
Механика
Лицензия
Статьи журнала «Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия» находятся в открытом доступе и распространяются в соответствии с условиями Лицензионного Договора с Санкт-Петербургским государственным университетом, который бесплатно предоставляет авторам неограниченное распространение и самостоятельное архивирование.
