Исследование больших деформаций композитной плоскости с межфазной трещиной, нагруженной равномерным давлением
DOI:
https://doi.org/10.21638/11701/spbu01.2020.114Аннотация
Получено аналитическое решение нелинейной задачи теории упругости для композитной плоскости, образованной соединением двух полуплоскостей из разных материалов с межфазной трещиной. Упругие свойства полуплоскостей моделируются полулинейным материалом. Внешней нагрузкой является следящее нормальное давление, ортогональное деформированным поверхностям берегов трещины, напряжения на бесконечности тсутствуют. Для решения задачи используются методы теории функций комплексной переменной. Установлено существование критических значений величины давления, превышение которых ведет к большим перемещениям, деформациям и напряжениям в окрестности трещины. Критические давления имеют порядок модуля сдвига материала и реально возможны для низкомодульных резиноподобных материалов (эластомеров). Для жестких материалов с большим модулем сдвига, в частности металлов, критические давления обычно не достигаются. Получены формулы для раскрытия берегов трещины в зависимости от величины давления и параметров материалов. На основе общего решения построены асимптотики номинальных напряжений (напряжений Пиолы) и напряжений Коши в окрестностях вершин трещины. Показано, что номинальные напряжения имеют корневую особенность, напряжения Коши не имеют особенности у вершин трещины.
Ключевые слова:
композитная плоскость, полулинейный материал, межфазная трещина, методы комплексных функций
Скачивания
Библиографические ссылки
Литература
Мусхелишвили Н. И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966.
Малькова Ю. В. Некоторые задачи для двухкомпонентной плоскости с криволинейными трещинами. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2008.
Мальков В. М., Малькова Ю. В. Плоские задачи упругости для полулинейного материала // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. Астрономия. 2012. Вып. 3. С. 93–106.
Ru C. Q. Finite strain singular field near the tip of a crack terminated at material interface // Math. and Mech. of Solids. 1997. Vol. 2, N 1. P. 49–73.
Ru C. Q. On complex-variable formulation for finite plane elastostatics of harmonic materials // Acta Mechanica. 2002. Vol. 156, N 3–4. P. 219–234.
Ru C. Q. Non-elliptic deformation field near the tip of a mixed-mode crack in a compressible hyperelastic material // Intern. J. of Non-Linear Mech. 2003. Vol. 38, N 4. P. 521–530.
Legrain G., Mo¨es N., Verron E. Stress analysis around crack tips in finite strain problems using the extended finite element method // Intern. J. for Numerical Methods in Eng. 2005. Vol. 63, N 2. P. 290–314.
Abeyaratne R., Yang J. S. Localized shear deformations near the tip of a mode-I crack // J. of Elasticity. 1987. Vol. 17, N 2. P. 93–112.
Мальков В. М., Малькова Ю. В. Плоская задача нелинейной упругости для гармонического материала // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. Астрономия. 2008. Вып. 3. С. 114–126.
Мальков В. М., Малькова Ю. В., Степанова В. А. Двухкомпонентная плоскость из материала Джона с межфазной трещиной, нагруженной давлением // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. Астрономия. 2013. Вып. 3. С. 113–125.
Мальков В. М., Малькова Ю. В. Плоские задачи о сосредоточенных силах для полулинейного материала // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. 2013. Вып. 3. С. 83–96.
Мальков В. М., Малькова Ю. В., Доманская Т. О. Анализ напряжений двухкомпонентной плоскости и полуплоскости при действии сосредоточенной силы для двух моделей гармонического материала // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. 2016. Вып. 1. С. 38–52.
Domanskaya T. O., Malkov V. M., Malkova Yu. V. Bi-material plane with interface crack for the model of semi-linear material // International Conference on Mechanics — Eight Polyakhov’s Reading, AIP Conference Proceedings. 2018. Vol. 1959. Art. no. 070009. https://doi.org/10.1063/1.5034684
Морозов Н. Ф. Математические вопросы теории трещин. М.: Наука, 1984.
Мальков В. М. Основы математической нелинейной теории упругости. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2002.
John F. Plane strain problems for a perfectly elastic material of harmonic type // Commun. Pure and Appl. Math. 1960. Vol. 13, N 2. P. 239–296.
Лурье А. И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука, 1980.
Лурье А. И. Теория упругости. М.: Наука, 1970.
Zubov L. M. Nonlinear theory of dislocations and declinations in elastic bodies. Berlin: Springer, 1997.
Еремеев В. А., Зубов Л. М. Некоторые проблемы устойчивости трехмерных нелинейноупругих тел // Изв. вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. 1999. № 1. С. 42–47.
Черных К. Ф., Литвиненкова З. Н. Теория больших упругих деформаций. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1988.
Черепанов Г. П. Механика хрупкого разрушения. М.: Наука, 1974.
Алфутов Н. А. Основы расчета на устойчивость упругих систем. М., 1978.
References
Muskhelishvili N. I., Some basic problems of the mathematical theory of elasticity (Springer, Netherlands, 1977).
Mal’kova Yu. V., Some problems for bi-material plane with curvilinear cracks (St. Petersburg University Press, St. Petersburg, 2008).
Mal’kov V. M., Mal’kova Yu. V., “Plane problems of elasticity for semi-linear material”, Vestnik of Saint Petersburg University. Ser. 1. Mathematics. Mechanics. Astronomy, issue 3, 93–106 (2012). (In
Russian)
Ru C. Q., “Finite strain singular field near the tip of a crack terminated at material interface”, Math. and Mech. of Solids 2 (1), 49–73 (1997).
Ru C. Q., “On complex-variable formulation for finite plane elastostatics of harmonic materials”, Acta Mechanica 156 (3–4), 219–234 (2002).
Ru C. Q., “Non-elliptic deformation field near the tip of a mixed-mode crack in a compressible hyperelastic material”, Intern. J. of Non-Linear Mech. 38 (4), 521–530 (2003).
Legrain G., Mo¨es N., Verron E., “Stress analysis around crack tips in finite strain problems using the extended finite element method”, Intern. J. for Numerical Methods in Eng. 63 (2), 290–314 (2005).
Abeyaratne R., Yang J. S., “Localized shear deformations near the tip of a mode-I crack”, J. of Elasticity 17 (2), 93–112 (1987).
Mal’kov V. M., Mal’kova Yu. V., “Plane problem of non-linear elasticity for harmonic material”, Vestnik of Saint Petersburg University. Ser. 1. Mathematics. Mechanics. Astronomy, issue 3, 114–126 (2008). (In Russian)
Mal’kov V. M., Mal’kova Yu. V., Stepanova V. A., “Bi-material plane of John’s material with interface crack loaded by pressure”, Vestnik of Saint Petersburg University. Ser. 1. Mathematics. Mechanics. Astronomy, issue 3, 113–125 (2013). (In Russian)
Mal’kov V. M., Mal’kova Yu. V., “Plane problems on concentrated forces for semi-linear material”, Vestnik of Saint Petersburg University. Ser. 10. Applied Mathematics. Computer Science. Control Processes, issue 3, 83–96 (2013). (In Russian)
Mal’kov V. M., Mal’kova Yu. V., Domanskaya T. O., “Analysis of stresses in bi-material plane and half-plane under action of concentrated force for two models of harmonic materials”, Vestnik of Saint Petersburg University. Ser. 10. Applied Mathematics. Computer Science. Control Processes, issue 1, 38–52 (2016). (In Russian)
Domanskaya T. O., Mal’kov V. M., Mal’kova Yu. V., “Bi-material plane with interface crack for the model of semi-linear material”, Intern. Conference on Mechanics — Eight Polyakhov’s Reading, AIP Conference Proceedings 1959, 070009 (2018).
Morozov N. F., Mathematical problems of the theory of cracks (Moscow, 1984). (In Russian)
Mal’kov V. M., Foundations of non-linear mathematical elasticity (St. Petersburg, 2002). (In Russian)
John F., “Plane strain problems for a perfectly elastic material of harmonic type”, Commun. Pure and Appl. Math. 13 (2), 239–296 (1960).
Lurie A. I., Non-linear theory of elasticity (North Holland, 1990).
Lurie A. I., Theory of elasticity (Moscow, 1970).
Zubov L. M., Nonlinear theory of dislocations and declinations in elastic bodies (Springer, Berlin, 1997).
Eremeyev V. A., Zubov L. M., “Some problems of stability of three-dimensions nonlinear elastic bodies”, News of high schools. Severo-Kavkazsky Region. Natural sciences, issue 1, 42–47 (1999). (In
Russian)
Chernykh K. F., Litvinenkova Z. N., Theory of large elastic deformations (Leningrad, 1988). (In Russian)
Cherepanov G. P., Mechanics of brittle fracture (McGraw Hill Higher Education, 1980).
Alfutov N. A., Stability of elastic structures (Foundations of Engineering Mechanics) (Springer, Berlin, 2000).
Загрузки
Опубликован
Как цитировать
Выпуск
Раздел
Лицензия
Статьи журнала «Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия» находятся в открытом доступе и распространяются в соответствии с условиями Лицензионного Договора с Санкт-Петербургским государственным университетом, который бесплатно предоставляет авторам неограниченное распространение и самостоятельное архивирование.
