Обзор исследований по качественной теории дифференциальных уравнений в Санкт-Петербургском университете. II. Локальный качественный анализ существенно нелинейных систем

Аннотация

Данная статья является второй из цикла статей, посвященных обзору результатов научных исследований, которые проводились на кафедре дифференциальных уравнений Санкт-Петербургского университета в последние четыре десятилетия и продолжают проводиться в настоящее время. В первой статье рассказывалось об исследованиях устойчивых периодических точек диффеоморфизмов с гомоклиническими точками и систем дифференциальных уравнений со слабо гиперболическими инвариантными множествами. В настоящей работе излагаются результаты по локальному качественному анализу существенно нелинейных систем в окрестности нулевого решения, полученные сотрудниками и выпускниками кафедры. Система называется существенно нелинейной, если разложение ее правых частей в ряд Тейлора не содержит линейных членов. Изучение таких систем, во-первых, осложняется более сложной картиной поведения решений по сравнению с квазилинейными системами. Во-вторых, не существует даже теоретических формул для общего решения нелинейной системы первого приближения, наличие которых так помогает в квазилинейном случае. Все это затрудняет анализ и значительно ограничивает технические возможности. Поэтому практически любые новые результаты и любые новые методы работы с такими системами представляют большой интерес. Одним из самых эффективных инструментов работы с существенно нелинейными системами оказались логарифмические нормы Лозинского. В каком-то смысле они являются аналогом характеристических показателей (собственных чисел), используемых в теории квазилинейных систем. В исследованиях, проводимых на кафедре, продемонстрированы широкие возможности применения логарифмических норм в самых разных задачах. С их помощью удалось получить целый ряд результатов, являющихся аналогом хорошо известных теорем из локальной качественной теории квазилинейных систем. Полученные результаты, помимо чисто математического интереса, представляют и прикладной интерес, в первую очередь для задач, связанных с анализом устойчивости решений сложных нелинейных систем.

Ключевые слова:

качественная теория дифференциальных уравнений, существенно нелинейные системы, логарифмические нормы Лозинского, инвариантные поверхности, устойчивость по Ляпунову, гладкая эквивалентность