Об устойчивости нулевого решения периодического обратимого дифференциального уравнения второго порядка

Аннотация

Изучается вопрос об устойчивости нулевого решения дифференциального уравнения второго порядка, описывающего периодические возмущения осциллятора с нелинейной восстанавливающей силой. В данной работе изучаются периодические по времени возмущения в предположении, что правая часть уравнения не изменяется при замене времени на противоположное (по знаку). Как известно, для решения вопроса об устойчивости таких возмущений необходимо учитывать все члены разложения правой части уравнения в ряд. Такие случаи Ляпунов называл трансцендентными в отличие от алгебраических, где достаточно учитывать лишь конечное число членов разложения правой части уравнения. Задача решается методами КАМ-теории, согласно которой в любой окрестности положения равновесия в начале координат фазовой плоскости существуют периодические по времени инвариантные двумерные торы, разделяющие трехмерное конфигурационное пространство. Эти торы рассматриваются как двумерные периодические инвариантные поверхности, охватывающие временную ось, откуда вытекает устойчивость (неасимптотическая) нулевого решения. Решаемая задача характерна тем, что невозмущенная часть уравнения содержит диссипативный член (слагаемое, зависящее от скорости) и имеет тот же порядок малости, что и восстанавливающая сила. Установлено, что при достаточной малости диссипативной части возмущения невозмущенное движение устойчиво по Ляпунову.

Ключевые слова:

дифференциальные уравнения второго порядка, периодические возмущения, осциллятор, обратимость, трансцендентность, устойчивость