Нормальная форма и устойчивость нулевого решения периодического обратимого ОДУ второго порядка с малым параметром

Аннотация

Продолжено изучение вопроса об устойчивости нулевого решения обратимого уравнения x''(t) + \beta^2 x^{2n-1}+\varepsilon b(t) x^{n - 1} x' + X(t, x, x') = 0 при следующих предположениях: n - натуральное, \varepsilon >= 0 - малый параметр, b(t) - нечетная 2 \pi -периодическая функция; разложение сходящегося ряда X по степеням x, x' c непрерывными 2\pi-периодическими коэффициентами не содержит членов порядка ниже 2n, если переменной x приписать первое измерение, а переменной x' - измерение n, при этом возмущение X не изменяется при замене времени на противоположное (по знаку). Как известно, для решения вопроса об устойчивости таких возмущений необходимо учитывать все члены ряда X. Такие случаи Ляпунов называл трансцендентными в отличие от алгебраических, где достаточно учитывать лишь конечное число членов ряда. В 2022 г. при рассмотрении случая, когда n >= 2 (\beta = 1), было установлено, что при достаточно малом \varepsilon, задающем амплитуду колебаний периодической функции b(t) в диссипативном слагаемом, невозмущенное движение x == 0 устойчиво по Ляпунову. В работе исследуется случай, когда n = 1, \beta - иррационально (это условие можно ослабить). Задача, как и при n >= 2, решается методами модифицированной для исследования обратимых систем КАМ-теории, согласно которой при малых значениях параметра в любой окрестности начала координат существуют двупериодические инвариантные торы, разделяющие трехмерное конфигурационное пространство и охватывающие ось времени, что означает неасимптотическую устойчивость невозмущенного движения. Однако метод, используемый при доказательстве устойчивости, когда n = 1, помимо ненормируемого \beta имеет ряд существенных отличий. Параметр \varepsilon вводится как еще одна переменная того же порядка, что и x, x' путем добавления уравнения \varepsilon' = 0, после чего полученная система сводится к нормальной форме с постоянными чисто мнимыми коэффициентами. Процесс нормализации оказывается удобным делать в общем виде, считая, что X = X(t, x, x' , \varepsilon) и разложение этого ряда начинается не ниже, чем со второго порядка, при этом полученная формальная нормальная форма представляет самостоятельный интерес. Устойчивость в работе доказана в невырожденном случае, когда отличен от нуля первый же коэффициент (его значение найдено), стоящий в нормальной форме при члене, не содержащем \varepsilon.

Ключевые слова:

дифференциальные уравнения второго порядка, периодические возмущения, нормальная форма, обратимость, трансцендентность, устойчивость