О численном решении систем линейных алгебраических уравнений с плохо обусловленными матрицами

Аннотация

Рассматриваются системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Если матрица системы невырождена, то существует единственное решение системы. В вырожденном случае система может не иметь решения или иметь бесконечно много решений. В этом случае вводится понятие нормального решения. Случай невырожденной квадратной матрицы теоретически можно считать хорошим в смысле существования и единственности решения. Однако в теории вычислительных методов невырожденные матрицы подразделяют на две категории: «плохо обусловленные» и «хорошо обусловленные». Плохо обусловленными называют матрицы, для которых решение системы уравнений практически является неустойчивым. Одной из важных характеристик практической устойчивости решения системы линейных уравнений является число обусловленности. Обычно для получения надежного решения используют методы регуляризации. Общей стратегией является использование стабилизатора Тихонова или его модификаций, либо представление искомого решения в виде ортогональной суммы двух векторов, один из которых определяется устойчиво, а для поиска второго необходима некая процедура стабилизации. В настоящей статье рассматриваются методы численного решения СЛАУ с положительно определенной симметричной матрицей или с матрицей осцилляционного типа с использованием регуляризации, приводящие к СЛАУ с уменьшенным числом обусловленности.

Ключевые слова:

система линейных алгебраических уравнений, некорректные задачи, плохо обусловленные задачи, число обусловленности, метод регуляризации