О проблеме Айзермана: коэффициентные условия существования цикла периода четыре в двумерной дискретной системе

Татьяна Евгеньевна Звягинцева

doi:10.21638/11701/spbu01.2020.105

Авторы

Татьяна Евгеньевна Звягинцева Санкт-Петербургский государственный университет

DOI:

https://doi.org/10.21638/11701/spbu01.2020.105

Аннотация

В работе изучается система автоматического управления второго порядка с дискретным временем, нелинейность которой удовлетворяет обобщенному условию Рауса — Гурвица. Такие системы находят широкое применение при решении современных прикладных проблем, возникающих в инженерных задачах, в теории управления движением, в задачах механики, физики, робототехники. В недавних статьях У. Хита, Дж. Карраско, М. де ла Сена построены два примера дискретных систем с нелинейностями, лежащими в гурвицевом угле, которые показывают, что гипотезы Айзермана и Калмана в дискретном случае не верны даже для систем второго порядка. В построенных авторами примерах одна из таких систем имеет цикл периода три, а другая — цикл периода четыре. В этой статье предполагается, что нелинейность является 2-периодической и лежит в гурвицевом угле, и исследуется система при всех возможных значениях параметров. В явном виде выписываются условия на параметры, при выполнении которых может быть построена такая 2-периодическая нелинейность, что система с указанной нелинейностью не будет глобально асимптотически устойчивой. Указанная нелинейность может быть построена не единственным образом. В работе предложен способ построения такой нелинейности, что в системе существует семейство циклов периода четыре. Циклы не являются изолированными, любое решение системы с начальными данными, лежащими на некотором указанном луче, будет периодическим.

Ключевые слова:

система второго порядка с дискретным временем, проблема Айзермана, абсолютная устойчивость, периодическое решение

Скачивания

Данные скачивания пока недоступны.

Библиографические ссылки

Литература

Лурье А. И., Постников В. Н. К теории устойчивости регулируемых систем // Прикладная математика и механика. 1944. Т. 8, № 3. С. 246–248.

Айзерман М. А. Об одной проблеме, касающейся устойчивости «в большом» динамических систем // Успехи математических наук. 1949. Т. 4. Вып. 4. С. 187–188.

Плисс В. А. О проблеме Айзермана для случая системы трех дифференциальных уравнений // ДАН СССР. 1958. Т. 121, № 3. С. 422–425.

Плисс В. А. Некоторые проблемы теории устойчивости движения в целом. Л.: Изд-во ЛГУ. 1958.

Kalman R. E. Physical and mathematical mechanisms of instability in nonlinear automatic control systems // Transactions of the ASME. 1957. No. 79. P. 553–566.

Леонов Г. А. О проблеме Айзермана // Автоматика и телемеханика. 2009. № 7. С. 37–49.

Леонов Г. А., Кузнецов Н. В., Брагин В. О. О проблемах Айзермана и Калмана // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. Астрономия. 2010. Вып. 3. С. 31–47.

Либерзон М. Р. Очерки о теории абсолютной устойчивости // Автоматика и телемеханика. 2006. № 10. С. 86–119.

Hu T., Lin Z. A complete stability analysis of planar discrete-time linear systems under saturation // IEEE Transactions on Circuits and Systems I: Fundamental Theory and Applications. 2001. Vol. 48, no. 6. P. 710–725.

Gonzaga C. A., Jungers M., Daafouz J. Stability analysis of discrete-time Lur’e systems // Automatica. 2012. Vol. 48, no. 9. P. 2277–2283.

Ahmad N. S., Heath W. P., Li G. LMI-based stability criteria for discrete-time Lur’e systems with monotonic, sector- and slope-restricted nonlinearities // IEEE Trans-actions on Automatic Control. 2013. Vol. 58, no. 2. P. 459–465.

Heath W. P., Carrasco J., de la Sen M. Second-order counterexample to the discrete-time Kalman conjecture // Proceedings of the European Control Conference (ECC15). 2015. Linz, Austria. 2015. P. 981–985.

Heath W. P., Carrasco J., de la Sen M. Second-order counterexamples to the discrete-time Kalman conjecture // Automatica. 2015. Vol. 60. Issue C. P. 140–144.

Heath W. P., Carrasco J. Global asymptotic stability for a class of discrete-time systems // Proceedings of the European Control Conference (ECC15). 2015. Linz, Austria. 2015. P. 969–974.

Park B. J., Park P., Kwon N. K. An improved stability criterion for discrete-time Lur’e systems with sector- and slope-restrictions // Automatica. 2015. Vol. 51, no. 1. P. 255–258.

References

Lur’e A. I., Postnikov V. N., “On the theory of stability of control system”, Applied mathematics and mechanics 8(3), 246–248 (1944).

Aizerman M. A., “On a problem concerning the stability “in the large” of dynamical systems”, Uspekhi Mat. Nauk 4(4), 186–188 (1949). (In Russian)

Pliss V. A., “On the Aizerman’s problem in the case of three simultaneous differential equations”, Dokl. Acad. Nauk USSR. Mathematics 121(3), 422–425 (1958). (In Russian)

Pliss V. A., Some Problems of Theory of Motion Stability (Leningr. Univ. Publ., Leningrad, 1958). (In Russian)

Kalman R. E., “Physical and mathematical mechanisms of instability in nonlinear automatic control systems”, Transactions ASME 79(3), 553–566 (1957).

Leonov G. A., “On the Aizerman problem”, Avtomatika i Telemekhanika 70(7), 1120–1131 (2009).

Leonov G. A., Kuznetsov N. V., Bragin V. O., “On problems of Aizerman and Kalman”, Vestnik St. Petersburg University, Mathematics 43, issue 3, 148–162 (2010).

Liberzon M. R., “Essays on the absolute stability theory”, Avtomatika i Telemekhanika 67, 1610–1644 (2006).

Hu T., Lin Z., “A complete stability analysis of planar discrete-time linear systems under saturation”, IEEE Transactions on Circuits and Systems I: Fundamental Theory and Applications 48(6), 710–725 (2001).

Gonzaga C. A., Jungers M., Daafouz J., “Stability analysis of discrete-time Lur’e systems”, Automatica 48(9), 2277–2283 (2012).

Ahmad N. S., Heath W. P., Li G., “LMI-based stability criteria for discrete-time Lur’e systems with monotonic, sector- and slope-restricted nonlinearities”, IEEE Transactions on Automatic Control 58(2), 459–465 (2013).

Heath W. P., Carrasco J., M. de la Sen, “Second-order counterexample to the discrete-time Kalman conjecture”, Proceedings of the European Control Conference, ECC15, Linz, 2015, 981–985 (2015).

Heath W. P., Carrasco J., M. de la Sen, “Second-order counterexamples to the discrete-time Kalman conjecture”, Automatica 60, issue C, 140–144 (2015).

Heath W. P., Carrasco J., “Global asymptotic stability for a class of discrete-time systems”, Proceedings of the European Control Conference, ECC15, Linz, 2015, 969–974 (2015).

Park B. J., Park P., Kwon N. K., “An improved stability criterion for discrete-time Lur’e systems with sector- and slope-restrictions”, Automatica 51(1), 255–258 (2015).