Общие вопросы интегрирования дифференциальных неравенств в явном виде

Аннотация

В статье рассматривается задача отыскания явным образом всех решений нестрогого дифференциального неравенства первого порядка. При этом используется формула общего решения соответствующего дифференциального уравнения. С помощью аналога метода вариации произвольной постоянной или, другими словами, выпрямляющего диффеоморфизма исходноенеравенство сводится к простейшему x ˙� 0 или x ˙� 0. Даже в том случае, когда уравнение рассматривается в области существования и единственности, возникают теоретические и практические проблемы. Эти проблемы связаны, во-первых, с продолжимостью (то есть промежутком определения) решений, а во-вторых, с тем, что общее решение уравнения может состоять из нескольких функций, заданных на разных промежутках из области определения уравнения. В результате рассматриваемое неравенство также может иметь решения, составленные из разных функций. Ситуация еще более усложняется, когда уравнение имеет точки ветвления. В этом случае метод теорем сравнения не применим. В статье показывается, каким образом можно решать дифференциальные неравенства, а значит, получать оценки на их решения и в этом случае. Результат, полученный в статье, позволяет единообразно подходить к многочисленным теоремам о дифференциальных неравенствах, имеющимся в литературе. Библиогр. 10 назв.