On a cubic variational problem

Abstract

В простейшей вариационной задаче стационарная кривая является непрерывно дифференцируемой функцией. Теорема Гильберта о дифференцируемости содержит условие, которое гарантирует наличие второй производной стационарной кривой. Желательно иметь простой пример, когда условие теоремы Гильберта не выполнено и стационарная кривая не является дважды дифференцируемой.В этой заметке анализируется кубическая вариационная задача со следующими свойствами: функционал задачи не ограничен как сверху, так и снизу; существует стационарная кривая, которая получается с помощью склеивания двух экстремалей и в точке склеивания которой отсутствует вторая производная. Несмотря на неблагоприятную ситуацию, делается попытка применить к данной задаче метод наискорейшего спуска (в форме, предложенной В. Ф. Демьяновым). Выясняется, что при правильной регулировке шага метод сходится к стационарной кривой. Библиогр. 2 назв. Ил. 6. Табл. 1.