Parametric resonances in the problem of longitudinal impact on a thin rod
DOI:
https://doi.org/10.21638/11701/spbu01.2016.109Abstract
A longitudinal impact on a thin elastic rod generating a periodic system of longitudinal waves is addressed. Linear problem is considered and for certain values of parameters these waves are shown to generate parametric resonance accompanied by unbounded increase in the amplitude of transverse oscillations. In order to obtain the finite values of amplitudes we consider a quasi-linear system that takes into account the influence of transverse vibrations on the axial ones. In the earlier research this system was numerically solved by the Bubnov—Galerkin approach which resulted in beats displaying the exchange of energy between the axial and transverse oscillations. This paper presents an approximate analytic solution to this systems based on the two-scale expansions is constructed. A qualitative analysis is carried out, too. We obtained an estimate of the maximum transverse deflection depending upon the method of loading. Both the short-term and long-term axial loading are analysed. Intensive transverse vibrations are found out to appear in the case of a suddenly applied axial pulse with the magnitude below the critical Euler force. Refs 17. Figs 7. Tables 1.Downloads
Download data is not yet available.
References
Литература
1. Эйлер Л. Метод нахождения кривых, обладающих свойством максимума либо минимума. М.; Л.: ГТТИ, 1934.
2. Пановко Я.Г., Губанова И.И. Устойчивость и колебания упругих систем. М.: Наука, 1987.
3. Лаврентьев M.A., Ишлинский А.Ю. Динамические формы потери устойчивости упругих систем // Доклады АН СССР. 1949. Т. 64, № 6. С. 776-782.
4. Вольмир А.С. Устойчивость сжатых стержней при динамическом нагружении // Строит. мех. и расчет сооружений. 1960. № 1. С. 6-9.
5. Болотин В.В. Поперечные колебания и критические скорости // Изд. АН СССР. Т. 1 (1951), Т. 2 (1953).
6. Морозов Н.Ф., Товстик П.Е. Динамика стержня при продольном ударе // Вестник С-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2009. Вып. 2. С. 105-111.
7. Беляев А.К., Ильин Д.Н., Морозов Н.Ф. Динамический подход к задаче Ишлинского-Лаврентьева // Изв. РАН. Механика твердого тела. 2013. № 5. С. 28-33.
8. Морозов Н.Ф., Товстик П.Е. Динамика стержня при кратковременном продольном ударе // Вестник С-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2013. Вып. 3. С. 131-141.
9. Морозов Н.Ф., Товстик П.Е. Поперечные колебания стержня, вызванные продольным ударом // Доклады АН. 2013. Т. 452, № 1. С. 37-41.
10. Морозов Н.Ф., Товстик П.Е., Товстик Т.П. Статика и динамика стержня при продольном нагружении // Вестник Южно-Уральского ун-та. Сер. мат. модел. и прогр. 2014. Т. 7, №1. С. 76-89.
11. Морозов Н.Ф., Товстик П.Е., Товстик Т.П. Еще раз о задаче Ишлинского-Лаврентьева // ДАН. 2014, 455(4). С. 412-415.
12. Морозов Н.Ф., Товстик П.Е. О динамической потере устойчивости стержня при продольной нагрузке, меньшей эйлеровой // Доклады АН. 2014. Т. 453, № 3. С. 282-285.
13. Беляев А.К., Морозов Н.Ф., Товстик П.Е., Товстик Т.П. Биения в задаче о продольном ударе по тонкому стержню // Изв. РАН. МТТ. 2015. № 4.
14. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1969.
15. Пальмов В.А. Колебания упругопластических тел. М.: Наука, 1976.
16. Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения. М.; Л.: Гостехиздат, 1950.
17. Якубович В.А., Старжинский В.М. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения. М.: Наука, 1972. 720 с.
References
1. Euler L., Methodus inveniendilineas curvas maximi minimiveproprietate gaudentes sivesolutioproblematis isoperimetrici latissimo sensu accepti(Springer, 1952). Вестник СПб ГУ. Сер.1. Математика. Механика. Астрономия. Т.3(61). 2016. Вып. 1 93
2. Panovko Ya. G., Gubanova I.I., Stability and Oscillations of Elastic Systems (Nauka, Moscow, 1987)[in Russian].
3. Lavrent’ev M.A., Ishlinsky A.Ju., “Dynamicmodesofstabilitylossofelasticsystems”, Doklady ANSSSR64(6), 776–782(1949)[in Russian].
4. Vol’mir A.S., “Stability of compressed rods under dynamic loading”, Stroit. mekh. & raschetsooruzhenii (1), 6–9(1960)[in Russian].
5. Bolotin V.V., “Transverse Vibrationsand Critical Velocities”, AN SSSR(Moscow, 1951, Vol.1, 1953, Vol.2)[in Russian].
6. Morozov N.F., Tovstik P.E., “Dynamicsofrodunderlongitudinalimpact”, Vestnik St. Petersburg Univ. Ser.1 Issue2, 105–111(2009)[in Russian].
7. Belyaev A.K., Il’in D.N., Morozov N.F., “Dynamic approach to the Ishlinsky—Lavrent’evproblem”, Mechanics of Solids48(5), 504–508(2013).
8. Morozov N.F., Tovstik P.E., “Dynamicsofrodunderashort-termlongitudinalimpact”, Vestnik St. Petersburg Univ. Ser.1, Issue3, 131–141(2013)[in Russian].
9. Morozov N.F., Tovstik P.E., “Transverserodvibrationsunderashort-termlongitudinalimpact”, Doklady Physics58(9), 387–391(2013).
10. Morozov N.F., Tovstik P.E., Tovstik T.P., “Staticanddynamicofarodatthelongitudinalloading”, Vestnikof South Ural State Univ. Ser.math. model & progr.7(1), 76–89(2014)[in Russian].
11. Morozov N.F., Tovstik P.E., Tovstik T.P., “Again on the Ishlinskii—Lavrentyev problem”, Doklady Physics59(4), 189–192(2014).
12. Morozov N.F., Tovstik P.E., “Dynamiclossofstabilityofarodunderlongitudinalloadlowerthanthe Eulerianload”, Doklady physics58(11), 510–513(2013).
13. Belyaev A.K., Morozov N.F., Tovstik P.E., Tovstik T.P., “Beatingsintheproblemoflongitudinalimpactonthinrod”, Mechanics of Solids50(4)(2015).
14. Bogoliubov N.N., Mitropolsky Yu. A., Asymptotic Method in the Theory of Nonlinear Oscillations(Gordonand Breach, New York, 1961).
15. Palmov V.A., Vibrations of Elastoplastic Bodies (Springer, Foundations of Engineering Mechanics, 1998).
16. Lyapunov A.M., The General Problem of the Stability of Motion (Taylor&Francis, London, 1992).
17. Yakubovich V.A., Starzhinskiy V.M., Lineardifferentialequationswithperiodiccoefficientsandtheirapplications(Nauka, Moscow, 1972)[in Russian].
Downloads
Published
2020-10-19
How to Cite
Belyaev, A. K., Morozov, N. F., Tovstik, P., & Tovstik, T. P. (2020). Parametric resonances in the problem of longitudinal impact on a thin rod. Vestnik of Saint Petersburg University. Mathematics. Mechanics. Astronomy, 3(1), 1. https://doi.org/10.21638/11701/spbu01.2016.109
Issue
Section
Mechanics
License
Articles of "Vestnik of Saint Petersburg University. Mathematics. Mechanics. Astronomy" are open access distributed under the terms of the License Agreement with Saint Petersburg State University, which permits to the authors unrestricted distribution and self-archiving free of charge.
